人教A版数学选修2-3 第一章 计数问题复习课 课件(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学选修2-3 第一章 计数问题复习课 课件(共23张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 935.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-07 16:23:54 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
计数问题复习课
一、基本问题及方法问答
问题1：在思考问题过程中如何判定是用分类加法原理还是用分步乘法原理？
答：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，就用分类加法计数原理；如果已知的每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理。
问题2：如何区分排列和组合问题？
答：主要是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；如果是没有顺序的可能，则是组合问题。
问题3：解决排列组合综合应用问题有哪些思考步骤和方法技巧？
答：两先两后：先分类后分步，先组合后排列；
16字方针：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
基本题型一： 两个计数原理的应用
【典例1】 (2016全国II理)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9
【典例2 】（涂色问题）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
二、典例选析
例题分析
例1解析：由题意可知， E到G处需分两步走，第一步是E到F处，第二步是 F到G处
解:由题意可知 E到F处有6种走法， F到G处有3种走法，由乘法计数原理知，共有 18 种走法，故选B．
例2分析：根据涂色要求，可以按分步原理依次计数，也可按先分类进行思考
解法一：
根据题意，可以按分步计数原理进行计算，依次分析5个省的涂色方法的数目可得答案。 依次分析5个省的涂色方法的数目：对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法
对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2种涂色方法，四川有2种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+2×2=7种共有5×4×3×7=420种涂色方法；故答案为：420种
法二：也可按先分类进行思考，即先对新疆和四川分可同色和不同色两类分析
若同色新疆和四川有5种涂色，西藏有4种涂色，青海有3种涂色，甘肃有3种涂色，根据分步计数原理即有5×4×3×3=180种
若不同色，新疆有5种涂色，四川有4种涂色，西藏有3种涂色，青海有2种涂色，甘肃有2种涂色，根据分步计数原理即有5×4×3×2×2=240种
共180+240=420种
跟踪练习
【练习1】（2021·北京高三模拟）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 2天、3 天、 5天、 6天去配送一次．已知 5月 1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个 月他不用去配送的天数是（ ）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 15
解题提示:由题意可知，李明在5 月1,4,7,10 ,13,16,19,22,25,28,31日这 11天内给甲超市送菜;李明在 5月1,5,9,13 ,17,21, 25,29日给乙超市送菜;李明在 5月1,7,13 ,19, 25,31日给丙超市送菜;李明在 5月1,8,15 ,22, 29日给丁超市送菜，
所以;李明在5月2,3,5,11 ,14,15,18,20,23,24,26,27,30日这13 天不用送菜．
故选B ．
【练习2】某节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在如图中的A，B，C，D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？
[练习2解析] 当A，B，C，D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1＝24(种)不同的方法；
当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A，C同色时，或B区，D区同色，A区，C区不同色且不与B，D同色时，有2×4×3×2＝48(种)不同的方法；
当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A，C同色时，有4×3＝12(种)不同的方法．
由分类加法计数原理知共有24＋48＋12＝84(种)不同的着装方法．
方法总结：
1）应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏
2）涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法
涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理
基本题型2：排列问题的求解
【例1】甲、乙、丙、丁、戊5个人排队，若甲和乙相邻，且丙与丁不相邻，则不同的排法有_______种．
【例2】将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中
至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法
种数是 ( )
A．120 B．72 C．60 D．36
例题分析
例2解析：根据题意，可以对第一个盒子的球的个数进行分类
第一类，第1个盒子中只有甲球，把剩余的4个球分成个数分别为1,1,2的三堆，
再分配给剩余的3个盒子，共有方法 种；
第二类，第1个盒子中有2个球，此时相当于把除甲球外的4个球放入4个盒子中，方法有 种．
根据分类加法计数原理知，满足题意的方法种数为 ＋ ＝60．
跟踪练习
【练习1 】 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
（1） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（2） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
【练习2】(2020·山东省实验中学检测)一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，则不同的坐法有_______种．
【练习1 解析】
[练习2分析] 可优先安排人入座，再让座位去“插队”，也可以运用逆向思维，从问题反面入手．
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数(如例2
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理，即先考虑不相邻以外元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法（如练习题1（3）问题
方法总结
基本题型3：组合问题的求解
【例1 】 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____种．
【例2】 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【例3】 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是A．232 B．252 C．472 D．484
例题分析
练习
【练习1】一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
解析：从反面考虑，总数为 不含有编号为3的总数为
,即总数为
【练习2】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人
，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_____种安排情况．
方法总结
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
基本题型4.排列与组合的综合问题
【例1】从6个人平均分配去值3天班，每人值班一天，则共有____ 种安排情况．
【变化题】从6个人选4个人去值三天班，每人值班一天，有两天安排1个人，有1天安排2个人，则共有____ 种安排情况．
【例2】（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
例题分析
例2分析
跟踪练习
【练习1】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种
【练习2】从6男2女共8名学生选出队长1人，副队长1人，普通队员组成4人服务队，要求服务队中至少有一名女生，共有多少种不同的选法？
1.解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
方法总结
2 分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以n!(n为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
计数问题复习课
一、基本问题及方法问答
问题1：在思考问题过程中如何判定是用分类加法原理还是用分步乘法原理？
答：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，就用分类加法计数原理；如果已知的每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理。
问题2：如何区分排列和组合问题？
答：主要是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；如果是没有顺序的可能，则是组合问题。
问题3：解决排列组合综合应用问题有哪些思考步骤和方法技巧？
答：两先两后：先分类后分步，先组合后排列；
16字方针：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
基本题型一： 两个计数原理的应用
【典例1】 (2016全国II理)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9
【典例2 】（涂色问题）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
二、典例选析
例题分析
例1解析：由题意可知， E到G处需分两步走，第一步是E到F处，第二步是 F到G处
解:由题意可知 E到F处有6种走法， F到G处有3种走法，由乘法计数原理知，共有 18 种走法，故选B．
例2分析：根据涂色要求，可以按分步原理依次计数，也可按先分类进行思考
解法一：
根据题意，可以按分步计数原理进行计算，依次分析5个省的涂色方法的数目可得答案。 依次分析5个省的涂色方法的数目：对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法
对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2种涂色方法，四川有2种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+2×2=7种共有5×4×3×7=420种涂色方法；故答案为：420种
法二：也可按先分类进行思考，即先对新疆和四川分可同色和不同色两类分析
若同色新疆和四川有5种涂色，西藏有4种涂色，青海有3种涂色，甘肃有3种涂色，根据分步计数原理即有5×4×3×3=180种
若不同色，新疆有5种涂色，四川有4种涂色，西藏有3种涂色，青海有2种涂色，甘肃有2种涂色，根据分步计数原理即有5×4×3×2×2=240种
共180+240=420种
跟踪练习
【练习1】（2021·北京高三模拟）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 2天、3 天、 5天、 6天去配送一次．已知 5月 1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个 月他不用去配送的天数是（ ）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 15
解题提示:由题意可知，李明在5 月1,4,7,10 ,13,16,19,22,25,28,31日这 11天内给甲超市送菜;李明在 5月1,5,9,13 ,17,21, 25,29日给乙超市送菜;李明在 5月1,7,13 ,19, 25,31日给丙超市送菜;李明在 5月1,8,15 ,22, 29日给丁超市送菜，
所以;李明在5月2,3,5,11 ,14,15,18,20,23,24,26,27,30日这13 天不用送菜．
故选B ．
【练习2】某节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在如图中的A，B，C，D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？
[练习2解析] 当A，B，C，D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1＝24(种)不同的方法；
当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A，C同色时，或B区，D区同色，A区，C区不同色且不与B，D同色时，有2×4×3×2＝48(种)不同的方法；
当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A，C同色时，有4×3＝12(种)不同的方法．
由分类加法计数原理知共有24＋48＋12＝84(种)不同的着装方法．
方法总结：
1）应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏
2）涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法
涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理
基本题型2：排列问题的求解
【例1】甲、乙、丙、丁、戊5个人排队，若甲和乙相邻，且丙与丁不相邻，则不同的排法有_______种．
【例2】将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中
至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法
种数是 ( )
A．120 B．72 C．60 D．36
例题分析
例2解析：根据题意，可以对第一个盒子的球的个数进行分类
第一类，第1个盒子中只有甲球，把剩余的4个球分成个数分别为1,1,2的三堆，
再分配给剩余的3个盒子，共有方法 种；
第二类，第1个盒子中有2个球，此时相当于把除甲球外的4个球放入4个盒子中，方法有 种．
根据分类加法计数原理知，满足题意的方法种数为 ＋ ＝60．
跟踪练习
【练习1 】 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
（1） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（2） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
【练习2】(2020·山东省实验中学检测)一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，则不同的坐法有_______种．
【练习1 解析】
[练习2分析] 可优先安排人入座，再让座位去“插队”，也可以运用逆向思维，从问题反面入手．
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数(如例2
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理，即先考虑不相邻以外元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法（如练习题1（3）问题
方法总结
基本题型3：组合问题的求解
【例1 】 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____种．
【例2】 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【例3】 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是A．232 B．252 C．472 D．484
例题分析
练习
【练习1】一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
解析：从反面考虑，总数为 不含有编号为3的总数为
,即总数为
【练习2】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人
，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_____种安排情况．
方法总结
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
基本题型4.排列与组合的综合问题
【例1】从6个人平均分配去值3天班，每人值班一天，则共有____ 种安排情况．
【变化题】从6个人选4个人去值三天班，每人值班一天，有两天安排1个人，有1天安排2个人，则共有____ 种安排情况．
【例2】（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
例题分析
例2分析
跟踪练习
【练习1】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种
【练习2】从6男2女共8名学生选出队长1人，副队长1人，普通队员组成4人服务队，要求服务队中至少有一名女生，共有多少种不同的选法？
1.解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
方法总结
2 分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以n!(n为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数