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北师大版 七年级下
5.3.3 角平分线的性质
情境引入
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
将 ∠AOB 对折， 你发现了什么？
答：角是轴对称图形．
合作学习
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．
做一做：
（1） 在一张纸上任意画 ∠AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
快来试试吧！
新知讲解
做一做：
（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
答：重合
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗
CD＝CE
你能说一说CD与CE相等的理由吗？
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE.
新知讲解
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
用数学语言表示为：
因为 OC平分∠ AOB，CD ⊥ OA，CE⊥ OB，
所以 CD =CE．
提炼概念
典例精讲
新知讲解
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
你能说明这样作的道理吗
新知讲解
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
你能说明这样作的道理吗
想一想：如图，在 Rt△ABC 中，BD 是∠ABC的平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. DE与DC相等吗？为什么？
答：DE = DC. 理由如下：
在 Rt△ABC 中，
因为∠C =90°，
所以DC⊥BC.
因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB,
所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
归纳概念
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
课堂练习
1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
D
2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（ ）
（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ）
（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 ( ）
×
√
×
3.如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。
解：作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求。
4. 如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.
解：因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠CBD.
因为BA＝BC，BD＝BD，
所以△ABD≌△CBD (SAS)，
所以∠ADB＝∠CDB.
又因为PM⊥AD，PN⊥CD，
所以PM＝PN.
5.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.
解：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
作业布置
教材课后配套作业题。
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5.3.3 角平分线的性质 学案
课题 5.3.3 角平分线的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1、了解角平分线的有关性质；2、掌握尺规作一个角的平分线的方法；3、应用角平分线的性质解决一些实际问题．
重点 探索角平分线的性质．
难点 利用角平分线的性质解决相关实际问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？将 ∠ AOB 对折， 你发现了什么？归纳：角是________， 角平分线所在的________是它的对称轴．做一做：（1） 在一张纸上任意画 ∠ AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？问题1：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗 问题2：你能说一说CD与CE相等的理由吗？已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE. 归纳：角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离________．用数学语言表示为：因为 OC平分∠________，CD⊥________，CE⊥________，所以 CD =________．
新知讲解 提炼概念角平分线的性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．典例精讲 例：利用尺规，作∠AOB的平分线.已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.问题：你能说明这样作的道理吗 想一想：如图，在 Rt△ABC 中，BD 是∠ABC 平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. DE与DC 相等吗？为什么？
课堂练习 巩固训练 1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（ ）（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ）（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 ( ）3.如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.答案引入思考探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？将 ∠ AOB 对折， 你发现了什么？答：角是轴对称图形．归纳：角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．做一做：（1） 在一张纸上任意画 ∠ AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？答：重合问题1：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗 答：CD＝CE问题2：你能说一说CD与CE相等的理由吗？已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE. 解：因为OC平分∠AOB所以∠COA=∠COB因为CD⊥OA，CE⊥OB，所以∠CDO=∠CEO=90°在△CDO和△CEO中，所以△CDO≌ △CEO所以CD=CE.归纳：角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．用数学语言表示为：因为 OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，所以 CD =CE．提炼概念 典例精讲 例作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.（3）作射线OC.OC就是∠AOB的平分线.问题：你能说明这样作的道理吗 证明：连接CD，CE，则CD=CD，在△OCD和△OCE中∴ △ACD≌ △ACB∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应边相等）∴OC平分∠AOB（角平分线的定义）想一想：答：DE = DC. 理由如下：在 Rt△ABC 中，因为∠C =90°，所以DC⊥BC.因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB,所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）巩固训练1.D2.×，√，×3.解：作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求。4.解：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.因为BA＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD (SAS)，所以∠ADB＝∠CDB.又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.5.解：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.
课堂小结 这节课你学到了什么？1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.
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5.3.3 角平分线的性质 教案
课题 5.3.3 角平分线的性质 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1、了解角平分线的有关性质；2、掌握尺规作一个角的平分线的方法；3、应用角平分线的性质解决一些实际问题．
重点 探索角平分线的性质．
难点 利用角平分线的性质解决相关实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能说出它的一条对称轴吗？答：线段是轴对称图形，垂直并且平分这条线段的直线是它的一条对称轴．2、什么是线段的垂直平分线？它有什么性质呢？答：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？将 ∠ AOB 对折， 你发现了什么？答：角是轴对称图形．归纳：角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．做一做：（1） 在一张纸上任意画 ∠ AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？答：重合问题1：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗 答：CD＝CE问题2：你能说一说CD与CE相等的理由吗？已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE. 解：因为OC平分∠AOB所以∠COA=∠COB因为CD⊥OA，CE⊥OB，所以∠CDO=∠CEO=90°在△CDO和△CEO中，所以△CDO≌ △CEO所以CD=CE.归纳：角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．用数学语言表示为：因为 OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，所以 CD =CE． 思考自议世纪学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论. 体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础.
讲授新课 提炼概念角平分线的性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、典例精讲 例：利用尺规，作∠AOB的平分线.已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.（3）作射线OC.OC就是∠AOB的平分线.问题：你能说明这样作的道理吗 证明：连接CD，CE，则CD=CD，在△OCD和△OCE中∴ △ACD≌ △ACB∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应边相等）∴OC平分∠AOB（角平分线的定义）想一想：如图，在 Rt△ABC 中，BD 是∠ABC 平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. DE与DC 相等吗？为什么？ 答：DE = DC. 理由如下：在 Rt△ABC 中，因为∠C =90°，所以DC⊥BC.因为 BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB,所以 DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答. 引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证,通过几何画板的形象演示把学生的直观体验上升到理性思维.
课堂检测 四、巩固训练1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点D2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（ ）（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ）（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 ( ）×，√，×3.如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。解：作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求。如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.解：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.因为BA＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD (SAS)，所以∠ADB＝∠CDB.又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.解：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.
课堂小结 这节课你学到了什么？1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.
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