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第十八章 特殊平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第2课时
学习目标
1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分;(重点)
2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明;(难点)
3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质,在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神;
4.通过合作探究,让学生体会学习的乐趣,增强学习的信心.
创设情境
一位饱经苍桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:
A
B
C
D
当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?
老大
老二
老三
老四
新知导入
创设情境
上节课,我们学行四边形的边、角这两个基本要素的性质.
A
D
B
C
AB=CD;
边:
AD=BC
角:
∠A=∠C;
∠B=∠D
平行四边形除了边、角这两个基本要素的性质外,对角线有什么性质呢?
新知导入
如图, ABCD中,连接AC、BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD有什么关系?
A
B
C
D
O
1.任意画一个平行四边形,如上图;
2.尝试用自己的方法找OA与OC,OB与OD的关系.
操作
合作探究
新知讲解
O
A
B
C
如图, ABCD中,连接AC、BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD有什么关系?
A
B
C
D
O
量一量
1.3cm
1.3cm
1.6cm
1.6cm
OA OC
OB OD
做一做
D
A
C
(D)
(C)
(A)
D
A
C
猜想:平行四边形的对角线互相平分.
合作探究
新知讲解
你能证明这个猜想吗?
猜想:平行四边形的对角线互相平分.
已知: ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,
求证:OA OC,OB OD.
A
B
C
D
O
分析:
OA OC
OB OD
△AOD≌△COB
或△AOB≌△DOC
1
2
3
4
ABCD
AD BC
AD//BC
1 2
3 4
猜想论证
新知讲解
已知: ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,
求证:OA OC,OB OD.
A
B
C
D
O
1
2
3
4
证明:∵在 ABCD中,AD BC,AD//BC.
∴ 1 2, 3 4
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴OA OC,OB OD.
猜想证明
新知讲解
平行四边形的性质
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA OC,OB OD.
几何语言表示为:
A
B
C
D
O
平行四边形的对角线互相平分.
总结归纳
新知讲解
你能利用平行四边形的性质判断老人这样分地公平吗?
A
B
C
D
O
老大
老二
老三
老四
S1
S2
S3
S4
△AOD≌△COB
△AOB≌△DOC
S1 S3
S2 S4
E
△AOB与△AOD等底同高
S1 S2
S1 S2 S3 S4
公平
结论:
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
想一想
新知讲解
你能总结出平行四边形比一般四边形多哪些特征吗?
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
一般四边形
平行四边形
边
角
对角线
4条边
4条边,
对边平行且相等.
4个角
2条对角线
4个角,
对角相等,
相邻两角互补.
2条对角线,
对角线互相平分.
新知讲解
例1:如图,在 ABCD中,AB 10,AD 8,AC BC.求BC,CD,AC,OA的长,以及 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ BC AD 8,CD AB 10.
∵AC BC
根据勾股定理,
又∵OA OC
S ABCD BC·AC 8 6 48.
∴△ABC是直角三角形.
∴OA AC 3,
典型例题
新知讲解
1.下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是轴对称图形;
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 .
①③④
课堂练习
2.已知 ABCD的周长为60cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△DOA的周长长5cm,求这个平行四边形各边的长.
D
A
B
C
O
提示:平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
课堂练习
2.已知 ABCD的周长为60cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△DOA的周长长5cm,求这个平行四边形各边的长.
D
A
B
C
O
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB OD,AB CD,AD BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm
∴AB CD 5cm,
又∵ ABCD的周长为60cm
∴AB CD 30cm
则AB CD 17.5cm,AD BC 12.5cm.
课堂练习
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.求证:OE OF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,OA OC.
∵∠EAO ∠FCO
在△AOE和△COF中,
∠AOE ∠COF
OA OC
∠EAO ∠FCO
∴△AOE≌△COF.
∴OE OF.
A
B
C
D
O
F
E
改变直线EF的位置, OE OF还成立吗?
课堂练习
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
试判断下列图中,OE OF还成立吗?
成立
总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等.
课堂练习
(★拓展)4.如图, ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,CO的中点,试判断线段BE,DF的关系并证明你的结论.
解:BE DF,BE//DF.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA OC,OB OD.
∵点E,F分别是AO,CO的中点,
D
A
B
C
O
F
E
∴BE//DF.
∴ OE OF,
在△OFD和△OEB中,
OE OF,∠DOF ∠BOE,OD OB.
∴△OFD≌△OEB.
∴BE DF,∠DFO ∠BEO.
课堂练行四边形
性质:
平行四边形的对角线互相平分.
结论
1.平行四边形的两条对角线把平行
四边形分成4个面积相等的小三角形.
2.过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等.
A
B
C
D
课堂小结
1.平行四边形的性质
3.例题讲解
2.平行四边形的一些结论
平行四边形的对角线互相平分.
(1)平行四边形的两条对角线把平行
四边形分成4个面积相等的小三角形.
(2)过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等.
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