6.2.1向量的加法运算　同步练习(Word含答案解析）

6.2.1向量的加法运算
一、单选题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（ ）
A． B．
C． D．0
2．如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）
A． B． C． D．
5．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在平行四边形中，E为的中点，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，在中，点为上一点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平行四边形中，是对角线的交点，是线段的中点，AN的延长线与交于点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，设，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在四边形中，，则四边形是__________四边形.
14．在矩形中，，则向量的长度等于________．
15．在点P是的边上的任意一点，Q为的中点，若，则______．
16．已知平面内三个不同的点、、，则“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）
四、解答题
17．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
18．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗
19．如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：
（1）若是的重心，则；
（2）.
20．如图，已知点、、分别是三边、、的中点，求证：.
21．在中，设，，、分别是、上的点，且，，设与相交于点，试用向量、表示.
22．P、Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP=QC，求证：
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则进行计算.
【详解】
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
【详解】
，.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
结合向量的加法法则运算即可.
【详解】
＝＋＋＝＝＝2．
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为中，为边上的中线，为的中点，
所以，
故选：A．
5．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
在平行四边形中，根据向量加法的三角形法则即可得出，从而可求出的值.
【详解】
在平行四边形中，因为E为的中点，
所以，
所以，所以.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算可得答案.
【详解】
.
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则可得答案.
【详解】
作出图形如下所示，
由已知得，，
所以
.
故选：D.
9．BD
【解析】
【分析】
利用三角形相似得出点的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可.
【详解】
易证又，
是线段的中点，，
说法错误；
说法正确；
说法正确，B说法错误.
故选:BD
10．CD
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】
由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
11．AC
【解析】
【分析】
对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.
【详解】
解：如图所示：
对A，，
又，
即，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，设为与的交点，
由题意可得：是的重心，
故，
，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【解析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
13．平行
【解析】
【分析】
由平行四边形法则即可得到答案.
【详解】
因为在四边形中，，由平行四边形法则，则四边形是平行四边形.
故答案为：平行.
14．4
【解析】
【分析】
根据向量加法运算的平行四边形法则即可得出答案.
【详解】
解：在矩形中，，
所以，
有，
所以向量的长度等于4.
故答案为：4.
15．0.5
【解析】
【分析】
结合三点共线和Q为的中点的向量表示，可得解
【详解】
由题意，三点共线，因此
，有
又Q为的中点，故
故答案为：0.5
16．充分不必要
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若、、是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出，充分性成立；
必要性：若、、三点共线，则成立，此时、、不能构成三角形，必要性不成立.
因此，“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
17．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
（2）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
（3）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
18．两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
【解析】
【分析】
由向量加法可知，根据长度和角度关系可求得，，由此可确定位移的方向和大小.
【详解】
用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知：，
可表示两次位移的和位移.
由题意知，在中，，则，，
在等腰中，，，
，，
两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由是的重心可得，，利用平面向量的加法运算可证得命题成立；
（2）由、、分别是、、的中点，可得，，，利用平面向量的加法运算可证得命题成立．
【详解】
证明：（1）是的重心，，，
则.
（2）、、分别是、、的中点，
，，，
20．证明见解析.
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则证明即可.
【详解】
证明：连接、、，如图，
、、分别是三边的中点，
，，
四边形为平行四边形，
由向量加法的平行四边形法则，得①，
同理在平行四边形中，②，
在平行四边形在中，③，将①②③相加，得
.
21．
【解析】
【分析】
过点作，利用平行线分线段成比例，以及向量加法和减法的线性运算，用向量、表示出.
【详解】
过点作，如下图：
因为，，
而，
则.
【点睛】
本小题主要考查平面向量加法和减法的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
22．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：根据向量加法三角形法则表示，再根据相反向量和为零向量得结果.
试题解析：
+=+++
∵ = ∴ +=
∴ + = +