第十六章 二次根式 重难点题型 专题训练（含解析）

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初二下二次根式重难点题型
一．选择题（共5小题）
1．下列说法正确的个数是（　　）
①2的平方根是；②与是同类二次根式；③﹣1与+1互为倒数；④﹣2的绝对值是2﹣．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．当x满足一定条件时，式子在实数范围内有意义，这个条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3
3．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
4．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
5．下列说法正确的是（　　）
A．二次根式有意义的条件是x≥0
B．二次根式有意义的条件是x≥3
C．若a为实数，则（）2＝
D．若y＝，则y≥0，x≥﹣2
二．填空题（共6小题）
6．已知+2＝b+8，则的值是　 　．
7．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是　 　．
8．把根式a根号外的a移到根号内，得　 　．
9．若0＜x＜1，化简＝　 　．
10．已知xy＝3，那么的值是　 　．
11．已知，则＝　 　．
三．解答题（共6小题）
12．计算：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
13．计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
14．已知x，y满足，求xy的平方根．
15．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有：
＝＝±（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即+＝7，×＝
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：．
16．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如3＝（）2，5＝（）2，下面我们观察：（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2；反之，3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2，∴3﹣2＝（﹣1）2，∴＝﹣1．
（1）化简．
（2）化简．
（3）化简．
（4）若＝±，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由．
17．像...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝　 　，＝　 　；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法正确的个数是（　　）
①2的平方根是；②与是同类二次根式；③﹣1与+1互为倒数；④﹣2的绝对值是2﹣．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①2的平方根是±，故①错误；
②与＝是同类二次根式，故②正确；
③∵（﹣1）（+1）＝1，∴﹣1与+1互为倒数，故③正确；
④﹣2的绝对值是2﹣，故④正确，
正确的共有3个，
故选：C．
2．当x满足一定条件时，式子在实数范围内有意义，这个条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3
【解答】解：由题可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，
解得x≥3，x≠3，
∴x＞3，
即当x＞3时，式子在实数范围内有意义．
故选：B．
3．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
4．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解答】解：①是最简二次根式；
②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
5．下列说法正确的是（　　）
A．二次根式有意义的条件是x≥0
B．二次根式有意义的条件是x≥3
C．若a为实数，则（）2＝
D．若y＝，则y≥0，x≥﹣2
【解答】解：A、要使有意义，必须x﹣1≥0，即x≥1，故本选项不符合题意；
B、要使有意义，必须x﹣3＞0，即x＞3，故本选项不符合题意；
C、当a≥0时，（）2才和相等，当a＜0时，不相等，故本选项不符合题意；
D、要使y＝成立，必须y≥0，x≥﹣2，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
6．已知+2＝b+8，则的值是　5　．
【解答】解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
7．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是　2008　．
【解答】解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
8．把根式a根号外的a移到根号内，得　﹣　．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣≥0，即a＜0，
∴原式＝﹣
＝﹣；
9．若0＜x＜1，化简＝　2x　．
【解答】解：原式＝﹣
＝x+﹣（﹣x）＝2x．
10．已知xy＝3，那么的值是　±2　．
【解答】解：因为xy＝3，所以x、y同号，
于是原式＝x+y＝+，
当x＞0，y＞0时，原式＝+＝2；
当x＜0，y＜0时，原式＝﹣+（﹣）＝﹣2．
故原式＝±2．
11．已知，则＝　13　．
【解答】解：设m＝，n＝，
那么m﹣n＝2①，m2+n2＝+＝34②．
由①得，m＝2+n③，
将③代入②得：n2+2n﹣15＝0，
解得：n＝﹣5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
所以＝n+2m＝13．
三．解答题（共6小题）
12．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【解答】解：（1），
原式＝（2﹣）﹣（+）
＝2
＝﹣．
（2）
原式＝4×
＝3÷5
＝．
（3）．
原式＝（8﹣9）
＝
＝﹣．
（4），
原式＝（2）2+2××3+（3）2
＝8+12+27
＝35+12．
13．计算：
（1）（﹣2）0﹣+（﹣1）2+|1﹣|；
（2）×（）+．
【解答】解：（1）
＝1﹣++
＝1﹣
＝4﹣．
（2）
＝
＝
＝．
＝．
14．已知x，y满足，求xy的平方根．
【解答】解：依题意，得：，8﹣2x≠0；
即x2﹣16＝0，8﹣2x≠0；
由x2﹣16＝0，得：x＝±4；
由8﹣2x≠0，得x≠4；
综上知：x＝﹣4；
y＝＝﹣；
故xy＝﹣4×（﹣）＝．
其平方根为±
15．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有：
＝＝±（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即+＝7，×＝
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：．
【解答】解：根据，可得m＝13，n＝42，
∵6+7＝13，6×7＝42，
∴＝＝．
16．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如3＝（）2，5＝（）2，下面我们观察：（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2；反之，3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2，∴3﹣2＝（﹣1）2，∴＝﹣1．
（1）化简．
（2）化简．
（3）化简．
（4）若＝±，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由．
【解答】解：（1）＝＝+1．
（2）＝＝+1．
（3）＝＝＝﹣1．
（4）
理由：把＝±两边平方，得a±2＝m+n±2，
∴
17．像...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝　　，＝　　；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【解答】解：（1）＝＝＝＝．
＝＝＝＝﹣3．
（2）∵＝m2+5n2＝a+6．
∴．
∵m，n，a均为正整数．
∴或．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
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