2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.3平行四边形解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-3平行四边形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在 ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
3．若平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝
．例如：已知A（3，1），B（5，2），则这两点间的距离
AB＝．已知A（3，1），B（5，2），C（4，4）．
（1）聪明的你能判定△ABC的形状吗？并说明理由．
（2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
4．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．
6．如图，在 ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
7．点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
9．如图，在 ABCD中，BE∥DF且分别交对角线AC于点E、F，连接ED、BF．
求证：（1）四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DF⊥AC，DF＝12，DC＝BF＝13，求BC的长．
10．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
11．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且∠ADB＝∠F，EF与CD交于点G．
（1）求证：四边形BDFE是平行四边形；
（2）若AD＝10，BE＝4，FG＝5，求EG的长．
12．如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）证明：四边形AECF是平行四边形．
13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．
16．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
求证：四边形AFCD是平行四边形．
17．如图， ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD．
19．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
20．如图所示，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：
（1）AE＝CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴A＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
3．解：（1）能判定△ABC的形状，△ABC是等腰直角三角形；理由如下：
由题意得：AB＝，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）如图所示：
当AB为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标为（4，﹣1）；
当BC为对角线时，AB∥CD，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点B向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到点D'，
∴点D'的坐标为（6，5）；
当AC为对角线时，AD∥BC，
∵A（3，1），B（5，2），C（4，4），
∴把点A向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到点D''，
∴点D''的坐标为（2，3）；
综上所述，点D的坐标为（4，﹣1）或（6，5）或（2，3）．
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴DE＝BF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，
∵DE⊥AC，
在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，
即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，
解得：AE＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，
∴△DOE的面积＝．
6．（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵FB平分∠EFC，
∴∠EFB＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠EFB，
∵AE＝2，EF＝5，
∴BE＝EF＝5，
∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；
（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，
在△BGF和△BHF中，
，
∴△BGF≌△BHF（SAS），
∴∠BGF＝∠BHF，
∵∠GBF＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，
∴∠BFH＝∠BGF，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴∠BFD＝∠BHC，
∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，
∴∠BDF＝45°＝∠BCH，
∴BD＝BC，
在△BDF和△BCH中，
，
∴△BDF≌△BCH（AAS）
∴DF＝CH，
∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，
即FG+2FD＝AB．
7．（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，AB＝MN，
∵MF＝MN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
8．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
9．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BAE＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DF⊥AC，BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∵DF＝12，DC＝BF＝13，
∴CF＝＝5，
∵BE＝DF＝12，
∴EF＝＝5，
∴CE＝EF+CF＝10，
∴BC＝＝＝2．
故BC的长为2．
10．（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ADB＝∠F，
∴BD∥EF，
∴四边形BDFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形BDFE是平行四边形，
∴DF＝BE＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣4＝6，AD∥BC，
∴EG＝，
即EG的长为．
12．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠E＝∠F．
∵在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）如图，连接EC、AF，
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
13．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
14．（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；
②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，CG＝＝＝，
所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
15．（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，
∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，
∴△ANB≌△CEA（SAS），
∴∠CAE＝∠ABN，
∵∠NBF＝∠EAF，
∴∠ABF＝∠FAC＝45°
∴FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝NE＝MC，
∴AF＝MC+EC，
∴AD＝MC+2EC．
16．解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴ME＝NF＝3，
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴BN＝DM＝5．
18．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD．
19．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）证法1：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
证法2：如图，连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
又∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）