2021-2022学年山东省烟台市莱阳市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（word版 含解析）

2021-2022学年山东省烟台市莱阳市九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
二、选择题（本题共12个小题，满分36分.每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的.）
1．如图所示几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A．
﹣x … ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣2 …
﹣y … ﹣6 ﹣4 ﹣0 ﹣2 …
B．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … ﹣6 ﹣3 3 6 …
C．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 3 6 ﹣6 ﹣3 …
D．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 2 1 ﹣1 ﹣2 …
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
4．已知二次函数y＝2mx2+（4﹣m）x，它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（　　）
A．点E B．点F C．点G D．点H
6．下列现象是物体的投影的是（　　）
A．灯光下猫咪映在墙上的影子
B．小明看到镜子里的自己
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
7．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x没有交点，且双曲线图象上有三点A（﹣1，a）、B（﹣3，b）、C（4，c），则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
10．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（　　）
A． B． C． D．500m
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … ﹣21.5 ﹣9.5 ﹣1.5 2.5 ﹣1.5 ﹣9.5 …
则下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＝4时，y＝﹣21.5
D．方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0
三、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．小兰身高160cm，她站立在阳光下的影子长为80cm；她把手臂竖直举起，此时影子长为100cm，那么小兰的手臂超出头顶 　 　cm．
14．如图，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，C为y轴上的一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 　 　．
15．如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是 　 　cm．
16．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为 　 　．
17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为 　 　．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．若AC＝2，∠E＝30°，则阴影部分的面积为 　 　．
四、解答题（本题共7个小题，满分63分，要求写出必要的证明过程或演算步骤）
19．如图，已知正比例函数y＝3x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（3，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
20．如图所示是自动卸货汽车卸货的状态图和其示意图，汽车的车厢采用液压机构，车厢的支撑顶杆AB的底部支撑点B在水平线OP的下方，OB与水平线OP夹角是15°，卸货时车厢与水平线OP成40°，此时OB与支持顶杆AB的夹角为45°，若OA＝3米，求AB的长度．（精确到十分位，sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6712）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE，如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）．
22．如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．
（1）试说明：直线CD为⊙P的切线．
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．
23．某校数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学交流的情况：
小明：据调查，该商品的进价为12元/件．
小亮：该商品定价为20元时，每天可售240件；
小颖：在定价为20元的基础上，每涨价1元，每天少售10件．
根据他们的对话，解决下列问题：
（1）若销售该商品每天能获利2470元，则该商品的定价应为多少元？
（2）设该商品的销售单价为m元时，每天销售该商品可获利W元，若每件商品销售单价不高于26元，则销售单价定为多少元时每天获利最大？最大利润是多少元？
24．一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成．如图1所示，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，托板AB长为120mm，支撑板CD长为40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）当∠DCB＝75°时，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝75°调整为90°，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为 　 　．（直接写出结果）
25．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AF的长．
参考答案
二、选择题（本题共12个小题，满分36分.每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的.）
1．如图所示几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图的定义判断即可．
解：根据左视图的定义可知，这个几何体的左视图是选项D，
故选：D．
2．下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A．
﹣x … ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣2 …
﹣y … ﹣6 ﹣4 ﹣0 ﹣2 …
B．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … ﹣6 ﹣3 3 6 …
C．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 3 6 ﹣6 ﹣3 …
D．
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 2 1 ﹣1 ﹣2 …
【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，即两个变量的乘积为非零常数k．
解：A．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
B．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
C．x与y的乘积全都等于﹣6，故变量y是x的反比例函数，符合题意；
D．x与y的乘积不全都相等，故变量y不是x的反比例函数，不合题意；
故选：C．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
故选：B．
4．已知二次函数y＝2mx2+（4﹣m）x，它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝2mx2+（4﹣m）x，
∴当x＝0时，y＝0，
即该函数的图象过点（0，0），故选项A不可能；
该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，
当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B可能，选项C不可能；
当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D不可能；
故选：B．
5．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（　　）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．
解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故选：C．
6．下列现象是物体的投影的是（　　）
A．灯光下猫咪映在墙上的影子
B．小明看到镜子里的自己
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
【分析】利用投影的定义确定答案即可．
解：A、灯光下猫咪映在墙上的影子是投影，符合题意；
B、小明看到镜子里的自己是镜面对称，不是投影，不符合题意；
C、自行车行驶过后车轮留下的痕迹不是投影，不符合题意；
D、掉在地上的树叶不是投影，不符合题意，
故选：A．
7．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行．
解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：C．
8．已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x没有交点，且双曲线图象上有三点A（﹣1，a）、B（﹣3，b）、C（4，c），则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】先根据题意确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
解：∵反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x没有交点，
∴函数y＝﹣2x在二、四象限，则反比例函数y＝（k≠0）图象在一、三象限，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣1，a）、B（﹣3，b）在第三象限，
∴a＜b＜0，
∵4＞0，
∴C（4，c）在第一象限，
∴c＞0，
∴a、b、c的大小关系是c＞b＞a，
故选：C．
9．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
【分析】设y＝mx2﹣2x﹣2，函数值恒为负，则抛物线开口向下，且抛物线与x轴没有交点，得出关于m的不等式组，求解即可得出m的取值范围．
解：设y＝mx2﹣2x﹣2，
∵函数值恒为负，
∴，
解得：m＜，
故选：B．
10．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】求得的长度，结合数轴作出选择．
解：根据题意知，的长度为：π×1≈×3＝1.5，则与拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A．
故选：A．
11．如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（　　）
A． B． C． D．500m
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求出AM，BN即可．
解：过点C、D作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，
在Rt△BCN中，∠CBN＝30°，BC＝500m，
∴CN＝BC＝250（m）＝DM，BN＝BC＝250（m），
在Rt△ADM中，∠DAM＝45°，DM＝250m，
∴AM＝DM＝250m，
∴AB＝AM+MN+BN＝250+50+250＝（300+250）m，
故选：C．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … ﹣21.5 ﹣9.5 ﹣1.5 2.5 ﹣1.5 ﹣9.5 …
则下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＝4时，y＝﹣21.5
D．方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0
【分析】利用抛物线的对称性，由抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5）得到抛物线的对称轴为直线x＝，则可对A选项进行判断；利用由表中数据可对B选项进行判断；利用抛物线的对称性得到当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，则可对C选项进行判断；利用抛物线对称性得到当x＝1和x＝0对应的函数值相等，即当x＝0时，y＝2.5，则可判断抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，则可对D选项进行判断．
解：∵抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以A选项的说法错误；
由表中数据得x＞1时，y随x的增大而减小，所以B选项的说法正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，
即当x＝4时，y＝﹣21.5，所以C选项的说法正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝1和x＝0对应的函数值相等，
即当x＝0时，y＝2.5，
∴抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0，所以D选项的说法正确．
故选：A．
三、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．小兰身高160cm，她站立在阳光下的影子长为80cm；她把手臂竖直举起，此时影子长为100cm，那么小兰的手臂超出头顶 　40　cm．
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
解：设手臂竖直举起时总高度xcm，则＝，
解得x＝200，
200﹣160＝40（cm），
故小兰的手臂超出头顶40cm，
故答案为：40
14．如图，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，C为y轴上的一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 　　．
【分析】连接OA，得到△ABC和△OAB的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数k的几何意义求得△ABC的面积．
解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，S△OAB＝|k|＝，
∴S△ABC＝S△OAB＝，
故答案为：．
15．如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是 　60　cm．
【分析】连接CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E，先证明△COD是等边三角形，从而求出∠ODC＝60°，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．
解：连接CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∵OC＝OD，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
在Rt△AED中，AD＝OA+OD＝40cm，
∴AE＝ADsin60°＝40×＝60（cm），
∴点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm，
故答案为：60．
16．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为 　140°　．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，从而求出∠CAB，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．
故答案为：140°．
17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为 　5　．
【分析】利用交点式写出抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，从而得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再确定C（0，﹣5），连接BC交直线x＝2于P点，如图，利用两点之间线段最短可得到此时PA+PC的值最小，最小值等于BC的长，然后利用勾股定理求出BC即可．
解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣5＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
连接BC交直线x＝2于P点，如图，
∵PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，最小值等于BC的长，
∵BC＝＝5，
∴PA+PC的最小值为5．
故答案为：5．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．若AC＝2，∠E＝30°，则阴影部分的面积为 　π﹣　．
【分析】根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC计算即可解决问题．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠E＝30°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣××2×2＝﹣．
故答案为：﹣．
四、解答题（本题共7个小题，满分63分，要求写出必要的证明过程或演算步骤）
19．如图，已知正比例函数y＝3x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（3，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣3）在y＝3x上，
∴﹣3＝3m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣3），
又∵点A在y＝上，
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1，
故答案为﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣3），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（3，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（3，1），
∴OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
20．如图所示是自动卸货汽车卸货的状态图和其示意图，汽车的车厢采用液压机构，车厢的支撑顶杆AB的底部支撑点B在水平线OP的下方，OB与水平线OP夹角是15°，卸货时车厢与水平线OP成40°，此时OB与支持顶杆AB的夹角为45°，若OA＝3米，求AB的长度．（精确到十分位，sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6712）
【分析】过点A作OM⊥AB，在两个直角三角形中，根据直角三角形的边角关系可求出答案．
解：由题意得，∠ABO＝45°，∠AOP＝40°，∠BOP＝15°，OA＝3米，
过点O作OM⊥AB于M，
在△AOB中，由内角和定理可得，
∠A＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB
＝180°﹣45°﹣40°﹣15°
＝80°，
在Rt△AOM中，∠A＝80°，OA＝3米，
∴OM＝OA sin80°≈3×0.9848≈2.95（米），
∴AM＝OA cos80°≈3×0.1736≈0.52（米），
在Rt△BOM中，∠ABO＝45°，
∴BM＝OM＝2.95米，
∴AB＝AM+BM＝2.95+0.52≈3.5（米），
答：AB的长度约为3.5米．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE，如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）．
【分析】首先根据待定系数法得到抛物线的解析式，配方后得到顶点坐标，再利用二元一次方程组得到直线AD的表达式，最后根据三角形的面积公式可得答案．
解：由题意得，，
解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD的表达式为y＝kx+b，
则，
解得k＝2，b＝6，
∴AD的表达式为y＝2x+6．
设P（x，2x﹣6），
则S△APE＝（﹣x）（2x+6）＝﹣x2﹣3x，
答：S与x之间的函数关系式是S＝﹣x2﹣3x．
22．如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．
（1）试说明：直线CD为⊙P的切线．
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．
【分析】（1）连接PC，先证明∠APC＝2∠B，再由2∠B+∠DAB＝180°得∠APC+∠DAB＝180°，则PC∥AD，得∠PCD＝180°﹣∠ADC＝90°，再根据切线的判定定理说明直线CD为⊙P的切线；
（2）连接AC，证明△PAC是等边三角形，则∠PCA＝60°，∠ACD＝30°，则AC＝2AD＝4，可根据勾股定理求出CD的长．
解：（1）如图，连接PC，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠B，
∴∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，
∵2∠B+∠DAB＝180°，
∴∠APC+∠DAB＝180°．
∴PC∥AD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠PCD＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵CD经过⊙P的半径PC的端点C，且CD⊥PC，
∴直线CD为⊙P的切线．
（2）如图，连接AC，
∵∠B＝30°，
∴∠APC＝2∠B＝60°，
∵PA＝PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠PCA＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AC
∵AD＝2，
∴AC＝4，
∴CD＝＝＝2，
∴CD的长为2．
23．某校数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学交流的情况：
小明：据调查，该商品的进价为12元/件．
小亮：该商品定价为20元时，每天可售240件；
小颖：在定价为20元的基础上，每涨价1元，每天少售10件．
根据他们的对话，解决下列问题：
（1）若销售该商品每天能获利2470元，则该商品的定价应为多少元？
（2）设该商品的销售单价为m元时，每天销售该商品可获利W元，若每件商品销售单价不高于26元，则销售单价定为多少元时每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件商品定价为x元，根据销售总利润＝2470列出方程，解方程即可；
（2）根据总利润＝每件的利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值即可．
解：（1）设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，
根据题意得：（x﹣12）[240﹣10（x﹣20）]＝2470，
整理得：x2﹣56x+775＝0，
解得x1＝25，x2＝31，
∴该商品的定价应为22元或24元；
（2）由题意得：W＝（m﹣12）[240﹣10（m﹣20）]＝﹣10m2+560m﹣5280＝﹣10（m﹣28）2+2560，
∵﹣10＜0，
∴当m＜28时，W随x的增大而增大，
∵每件商品销售单价不高于26元，
∴m≤26，
∴当m＝26时，W最大，最大值为2520，
∴该商品的销售单价定为26元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是2520元．
24．一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成．如图1所示，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，托板AB长为120mm，支撑板CD长为40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）当∠DCB＝75°时，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝75°调整为90°，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为 　30°　．（直接写出结果）
【分析】（1）过点C作CN⊥DE，垂足为E，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，则四边形CFMN是矩形，从而可得FM＝CN，∠FCN＝90°，先在Rt△CDN中，求出CN的长，再在Rt△AFC中，求出AF，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意先画出图形，然后在Rt△DCB中，利用锐角三角函数求出∠CDB＝30°，然后进行计算即可解答．
解：（1）过点C作CN⊥DE，垂足为E，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，
则四边形CFMN是矩形，
∴FM＝CN，∠FCN＝90°，
在Rt△CDN中，CD＝40，∠CDN＝60°，
∴CN＝CDsin60°＝40×＝60mm，
∴FM＝CN＝60mm，
∵∠CND＝90°，
∴∠DCN＝90°﹣∠CDN＝30°，
∵∠DCB＝75°，
∴∠BCN＝∠DCB﹣∠DCN＝45°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCN﹣∠BCN＝45°，
在Rt△AFC中，AC＝80，
∴AF＝ACsin45°＝80×＝40mm，
∴AM＝AF+FM＝（40+60）mm，
∴点A到直线DE的距离为（40+60）mm；
（2）如图：
在Rt△DCB中，DC＝40，BC＝40，
∴tan∠CDB＝＝＝，
∴∠CDB＝30°，
∴CD旋转的角度为：60°﹣30°＝30°，
故答案为：30°．
25．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AF的长．
【分析】（1）先判断出∠ACE＝∠AFC，进而判断出△ACE∽△AFC，得出AC2＝AE AF，即可得出结论；
（2）先求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，进而求出∠BAF＝∠DCF＝22.5°，即可得出结论；
（3）过点G作GH⊥CF交AF于H，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴，
∴AC2＝AE AF，
∵AC＝CE，
∴CE2＝AE AF；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC＝45°，
∴∠AFC＝∠AOC＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，
∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，
∴∠DCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；
（3）解：如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，
∴∠FGH＝90°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴HG＝FG＝2，
∴FH＝2，
∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，
∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，
∴AH＝HG＝2，
∴AF＝AH+FH＝2+2．