2021-2022学年安徽省六安市舒城县九年级（上）期末数学试卷（word版 含解析）

2021-2022学年安徽省六安市舒城县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．二次函数y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，则AC的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．若，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2米，CD＝5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（　　）
A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2米
5．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b≤1 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
7．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设AP＝x，BP＝y，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　）
A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP＝ D．∠C＝30°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝5，则sin∠BFD的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，△ACD的面积为3，则k等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，等边△ABC的边长为4cm，直线l⊥AC所在的直线，直线l从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，运动过程中与边AC相交于点M，与边AB或BC相交于点N，若△CMN的面积为y（cm2），直线l的运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，6）和（4，m），则m＝　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC，如果AD＝4，BC＝9，则BD的长＝　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，则＝　 　．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 　 　；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 　 　．
三、解答题（第15-18每小题8分，第19-20每小题8分，第21、22每小题8分，第23题14分）
15．计算：cos230°+sin245°﹣tan60° tan30°
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请以点P为中心，相似比为2，作出△OAB的同向位似图形△O2A2B2．
18．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度．（参考数据：sin11.3°≈0.22，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.2，tan14°≈0.25）
19．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
20．某水果经销商到我县一生态园采购葡萄，一次性采购葡萄的单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A）．
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，生态园获利最大，最大利润是多少元？
21．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝　 　；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝1：m，求AF：AB（用含有m的代数式表示）．
22．已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义“和函数”y＝y1+y2．
（1）若k＝2，则“和函数”y＝　 　．
（2）若“和函数”y为y＝x2+bx﹣2，则k＝　 　，b＝　 　．
（3）若该“和函数”y的顶点在直线y＝﹣x上，求k．
23．已知△ABC中，AC＝BC，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O．
（1）如图①，∠ACB＝60°，AD＝BE，求证：∠COD＝60°；
（2）如图②，∠ACB＝90°，AD＝AC，AE＝AB，求证：∠COD＝90°；
（3）如图③，∠ACB＝90°，AD＝AC，BE＝AB，猜想∠COD的大小并加以证明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．二次函数y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
解：二次函数y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故选：B．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，则AC的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，
∴cosA＝＝＝，
∴AC＝4，
故选：C．
3．若，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】把要求的式子化成+1，再把＝代入进行计算，即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：D．
4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2米，CD＝5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（　　）
A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2米
【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
解：∵AB∥CD
∴△PAB∽△PCD
∴AB：CD＝P到AB的距离：点P到CD的距离．
∴2：5＝P到AB的距离：4，
∴P到AB的距离为＝1.6m，
故选：B．
5．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b≤1 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【分析】根据已知函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点得出Δ＞0，求出不等式的解集即可．
解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，
∴方程函数x2﹣2x+b＝0有两个不相等的实数根，
即△＝（﹣2）2﹣4×1×b＝4﹣4b＞0，
解得：b＜1，
故选：D．
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
7．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设AP＝x，BP＝y，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　）
A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP＝ D．∠C＝30°
【分析】由函数图象可知，AB＝2，AC＝4，AP＝1时，BP取得最小值，由“垂线段最短”得到当BP⊥AC时，BP最短，此时，AP＝1，从而求得△ABC的底边AC上的高的长度和CP的长，再求得BC的长，tan∠BAP的值，最后利用直角三角形的三边关系求得∠C的度数．
解：由函数图象可知，AB＝2，AC＝4，AP＝1时，BP取得最小值，故选项A正确，不符合题意；
如图，过点B作BP⊥AC于点P，则AP＝1，
∴BP＝＝，CP＝AC﹣AP＝4﹣1＝3，
∴BC＝＝2，故选项B正确，不符合题意；
∴BC＝2BP，tan∠BAP＝＝，故选项C错误，符合题意；
∴∠C＝30°，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝5，则sin∠BFD的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF＝∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，
∴∠A＝∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF＝∠A，
∴∠EDF＝∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF＝∠BFD+∠BDF+∠B＝180°，
∴∠CDE＝∠BFD．
又∵AE＝DE＝5，
∴CE＝8﹣5＝3，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE＝＝，
∴sin∠BFD＝，
故选：A．
9．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，△ACD的面积为3，则k等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由反比例函数k的几何意义得到三角形OCE与三角形OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到三角形ODE与三角形OBA面积之比，设三角形OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出三角形OAC与三角形OCB面积之比即可
解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，
∵OC＝CA，
∴OE：OB＝1：2；
设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，
∵△COE∽△AOB，
∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1：4，
∵△ACD的面积为3，
∴△OCD的面积为3，
∴三角形BOA面积为6+x，
即三角形BOA的面积为6+x＝4x，
解得x＝2，
∴|k|＝2，
∵k＞0，
∴k＝4，
故选：C．
10．如图，等边△ABC的边长为4cm，直线l⊥AC所在的直线，直线l从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，运动过程中与边AC相交于点M，与边AB或BC相交于点N，若△CMN的面积为y（cm2），直线l的运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】当直线l在点B左侧时，由∠A＝60°，∠AMN＝90°，AM＝x得到MN＝x，CM＝4﹣x，然后得到△CMN的面积，当直线l在点B右侧时，由∠C＝60°，∠NMC＝90°，CM＝4﹣x得到MN＝（4﹣x），然后得到△CMN的面积．
解：当直线l在点B左侧时，
∵l⊥AC，
∴∠AMN＝90°，
∵∠A＝60°，AM＝x，
∴MN＝x，CM＝4﹣x，
∴S△CMN＝CM MN＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+2x，
∴函数图象开口向下，
当直线l在点B右侧时，
∵∠C＝60°，∠NMC＝90°，CM＝4﹣x，
∴MN＝（4﹣x），
∴S△CMN＝CM MN＝×（4﹣x）×（4﹣x）＝（x﹣4）2，
∴函数图象开口向上，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，6）和（4，m），则m＝　﹣3　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出﹣2×6＝4m，解之即可得出m值．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，6）和（4，m），
∴k＝﹣2×6＝4m，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC，如果AD＝4，BC＝9，则BD的长＝　6　．
【分析】证出△ABD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可求出BD的长度．
解：∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BDC＝90°，
∴△ABD∽△DCB．
∴，
即，
∴BD＝6或BD＝﹣6（不合题意，舍去），
故答案为：6．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，则＝　2　．
【分析】利用平行四边形的性质先求出＝，再证明8字模型相似三角形△AEF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质求出＝＝，即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，AO＝CO＝AC，
∵E为OA的中点，
∴AE＝AO，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠DAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝2，
故答案为：2．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 　（1，4）　；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 　（1，﹣2）或（1，）　．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法即可求得结论；
（2）利用抛物线的解析式求得OB，OB，MF，OF，BF，CE的长，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答，依据题意画出图形，利用相似三角形的性质，求得MF和M′F的长即可得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0），
∴﹣1﹣2+c＝0．
∴c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
故答案为：（1，4）；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴OF＝1，DF＝4．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∴E（2，3）
∴OC＝3，CE＝2．．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．
解得：x＝﹣1或3．
∴B（3，0）．
∴OB＝3．
∴OB＝OC．
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∵CE∥OB，
∴∠C＝45°．
由于点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，
此时有两种情况：在DF上取点M，M′，连接BM，BM′，如图，
当△DMB∽△BCE时，
∴∠M＝∠C＝45°．
∵FM⊥OB，
∴BF＝FM．
∵BF＝OB﹣OF＝2，
∴FM＝2．
∴M（1，﹣2）．
当△DM′B∽△BEC时，
∴．
∵DB＝＝2，BC＝＝3，
∴．
∴BM′＝．
∴M′F＝．
∴M′（1，）．
综上，点M坐标为（1，﹣2）或（1，）．
故答案为：（1，﹣2）或（1，）．
三、解答题（第15-18每小题8分，第19-20每小题8分，第21、22每小题8分，第23题14分）
15．计算：cos230°+sin245°﹣tan60° tan30°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
解：原式＝（）2+（）2﹣
＝+﹣1
＝．
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）通过解方程﹣（x﹣1）2+9＝0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9，
把（﹣1，5）代入得a（﹣1﹣1）2+9＝5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣1）2+9＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2，
所以B、C两点的坐标为（﹣2，0），（4，0），
所以△ABC的面积＝×9×（4+2）＝27．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请以点P为中心，相似比为2，作出△OAB的同向位似图形△O2A2B2．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线CD的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似变换的定义作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．
解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求．
（2）如图所示，△O2A2B2即为所求．
18．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度．（参考数据：sin11.3°≈0.22，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.2，tan14°≈0.25）
【分析】设AE＝x米，则AD＝AE﹣DE＝（x﹣10）米，由锐角三角函数定义得BD≈5AD＝5（x﹣10）（米），CE≈4AE＝4x（米），再由BD﹣CE＝315米得出方程，解方程即可．
解：设过A、B、C的水平线分别为AP、BM、CN，过A作AD⊥BM交CN于E，
则DE＝10米，∠BAP＝11.3°，∠PAC＝14°，AP∥BM∥CN，
∴∠ABD＝∠BAP＝11.3°，∠ACE＝∠PAC＝14°，
设AE＝x米，则AD＝AE﹣DE＝（x﹣10）（米），
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝tan11.3°≈0.2，
∴BD≈5AD＝5（x﹣10）（米），
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝tan14°≈0.25，
∴CE≈4AE＝4x（米），
∵BD﹣CE＝315米，
∴5（x﹣10）﹣4x≈315，
解得：x≈365，
即AE≈365米，
答：舰载机相对舰尾C的高度约为365米．
19．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
20．某水果经销商到我县一生态园采购葡萄，一次性采购葡萄的单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A）．
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，生态园获利最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据函数图象中的点B和点C可以求得当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题．
解：（1）设当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝ax+b，
∵BC段过点（500，30）和点（1000，20），
∴，
解得，，
∴当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝﹣0.02x+40；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤500时，W＝（30﹣8）x＝22x，
∵22＞0，
∴当x＝500时，W有最大值11000元；
当500＜x≤1000时，
W＝（y﹣8）x＝（﹣0.02x+32）x＝﹣0.02x2+32x＝﹣0.02（x﹣800）2+12800，
∵﹣0.02＜0，
∴当x＝800时，W有最大值为12800元，
综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元．
21．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）若BE＝1，EC＝2，则sin∠EDC＝　　；
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝1：m，求AF：AB（用含有m的代数式表示）．
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质解答即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝BE+CE＝3，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，
∴DE＝AD＝3，
∴sin∠EDC＝＝；
故答案为：；
（2）解：∵BE：EC＝1：4，CD＝9，
设BE＝x，则EC＝4x，BC＝5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5x，
由翻折得DE＝AD＝5x，
∴DC＝＝3x＝9，
解得：x＝3，
∴CE＝12，BE＝3，
∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∴BF＝×12＝4；
（3）解：∵△FEB∽△EDC，
∴＝，
∵BE：EC＝1：m，
设BE＝k，EC＝mk，
则DE＝AD＝BC＝（1+m）k，
∴＝＝＝，
由翻折得，AF＝EF，
∴＝，
∴＝．
22．已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义“和函数”y＝y1+y2．
（1）若k＝2，则“和函数”y＝　x2+2x+5　．
（2）若“和函数”y为y＝x2+bx﹣2，则k＝　﹣5　，b＝　﹣12　．
（3）若该“和函数”y的顶点在直线y＝﹣x上，求k．
【分析】（1）将k＝2代入函数y1＝2kx+k中得出函数y1＝4x+2，即可得出结论；
（2）“和函数”y的解析式为y＝x2+2（k﹣1）x+k+3，即可得出结论；
（3）先得出新函数y＝（x+k﹣1）2﹣k2+3k+2，进而根据顶点在直线y＝﹣x上得出k﹣1＝﹣k2+3k+2，即可得出结论．
解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数y2＝x2﹣2x+3，定义“和函数”y＝y1+y2，
∴y＝x2﹣2x+3+4x+2＝x2+2x+5，
故答案为：x2+2x+5；
（2）函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义“和函数”y＝y1+y2，
∴“和函数”y的解析式为y＝x2﹣2x+3+2kx+k＝x2+2（k﹣1）x+k+3，
∵“和函数”y为y＝x2+bx﹣2，，
∴b＝2（k﹣1），k+3＝﹣2，
∴k＝﹣5，b＝﹣12，
故答案为：﹣5，﹣12；
（3）由（2）知，“和函数”为y＝x2+2（k﹣1）x+k+3＝（x+k﹣1）2﹣k2+3k+2，
∴“和函数”的顶点为（k+1，﹣k2+3k+2），
∵“和函数”y的顶点在直线y＝﹣x上，
∴k﹣1＝﹣k2+3k+2，整理得：k2﹣2k﹣3＝0，
解得k＝3或﹣1．
23．已知△ABC中，AC＝BC，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O．
（1）如图①，∠ACB＝60°，AD＝BE，求证：∠COD＝60°；
（2）如图②，∠ACB＝90°，AD＝AC，AE＝AB，求证：∠COD＝90°；
（3）如图③，∠ACB＝90°，AD＝AC，BE＝AB，猜想∠COD的大小并加以证明．
【分析】（1）证明△ABD≌△△BCE，得到∠ABD＝∠BCE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（2）过A作AF∥BC交CE的延长线于F，证明△BCD≌△CAF，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（3）证明△ABD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到∠ABD＝∠BCE，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△△BCE（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠COD＝∠CBD+∠BCE＝∠CBD+∠ABD＝60°；
（2）证明：过A作AF∥BC交CE的延长线于F，
则＝＝，∠CAF＝∠ACB＝90°，
∴AF＝BC＝AC，
∵AD＝AC，
∴AF＝AD＝CD，
在△BCD和△CAF中，
，
∴△BCD≌△CAF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∴∠COD＝∠CBD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°；
（3）解：∠COD＝45°，
证明如下：设BE＝a，则AB＝4a，
∴AC＝BC＝2a，
∴AD＝CD＝a，
∴＝＝2，
∵∠EBC＝∠DAB＝45°，
∴△ABD∽△BCE，
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠COD＝∠CBD+∠BCE＝∠CBD+∠ABD＝45°．