北师大版八年级下册6.3 三角形的中位线 教案

三角形的中位线教学设计
一、教材分析
本节内容选自北师大版《义务教育教科书·数学·八年级下册》第六章第三节三角形的中位线。在此之前学习的全等三角形、平行四边形的性质与判定等是本节课的基础。三角形的中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一种重要线段。三角形的中位线定理为证明线段的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也为后续要学习的直角三角形斜边上的中线的性质奠定了基础。本节课用平行四边形研究三角形问题，与之前的用三角形研究四边形问题相呼应，积累几何问题研究方法相互转化的经验，在教学中要重视渗透转化的数学思想。
二、教学目标
1.经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理证明能力.
2.证明三角形中位线定理，发展演绎推理能力.
3.运用三角形中位线解决问题.
三、教学重难点
重点：三角形中位线定理.
难点：三角形中位线定理的证明及应用.
四、教学过程
(一) 复习引入，辨析概念
复习三角形中线的定义和特性，然后类比三角形中线的概念，从而引出课题: 如图 D，E分别是△ABC两边AB，AC 的中点，线段 DE 是△ABC 的什么线呢
定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。
问: 一个三角形有几条中位线 三角形中位线和中线有什么关系
【设计意图】教师让学生在图形中进一步直观辨析概念，深化中位线的定义特征，为接下来三角形中位线定理的发现和证明做铺垫，渗透类比的数学思想。
(二) 发现猜想，动手验证
1.猜想
问: 三角形的中位线和第三边有什么关系
结论：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
2.思路分析
证明两条线段平行，就是证明两条线段所在的直线平行。证明两条直线平行的方法有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、平行线的传递性、平行四边形的对边平行等。
证明两条线段的二倍关系，可以取较长线段的中点，将问题转化为证明较短线段与较长线段的一半相等。 也可以将较短线段延长到原来的二倍后，将证明转化为证明较长线段与较短线段的二倍相等。证明两条线段相等通常采用三角形全等以及平行四边形的性质来证。
证明
方法1: 测量法
通过测量∠ADE,∠ABC度数，可以得到∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC. 通过测量DE,BC 长度,可以得到DE = BC.
方法2: 倍长中位线
如图，延长DE 至点F，使得EF = DE，连接CF.
由△ADE≌△CFE，得AD = CF = BD，通过证明四边形BCFD 是平行四边形，得DE∥BC，DE = BC.
方法3: 利用三角形中线的性质
如图，连接BE,CD，分别过点D，E，A作
DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，AG⊥DE于点G.
由中线性质可知，故DM = EN，则四边形MNED是矩形，故DE∥BC.再由三角形全等证明DG = BM，EG = CN，得DE = BC.
方法4: 利用坐标系进行证明
如图，以点B为坐标原点、BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。
不妨设A( m，n) 、C( x，0)，根据中点公式可知，由D，E 纵坐标相同得DE∥BC，计算得DE = BC.
方法5:割补法
如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，刘徽通过割补的方法推导三角形面积公式，从三角形面积公式的推导过程中也能得到三角形中位线定理。
【设计意图】让学生进行自主猜测、探索，初步感知三角形中位线的性质。培养学生的探索精神和探究能力。通过对证明方法的探究，体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展。通过严密的几何推理，用不同的方法，将三角形中位线定理进行证明，以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，体会转化思想，发展演绎推理能力，自然地完成本节课难点的突破。通过选择最简便的证明方法完善证明过程，加强对学生几何推理和书写习惯的培养。
(四) 归纳新知，规范书写
文字语言: 三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。
(2)符号语言: ∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE∥BC，DE = BC.
【设计意图】会用文字语言和符号语言表示、证明几何元素的位置和数量关系是数学学习中非常重要的能力，也是学生能够科学、规范书写的前提。该教学环节要求学生用两种种语言表示三角形中位线对应的位置、数量关系，意在深化学生对结论的理解，培养学生的表达能力，让学生多角度、多形式感受性质定理。
(五) 理解定理，深入思考
根据前面的分析，我们得到了三角形中位线的性质，那么，三角形中位线的出现给三角形带来哪些变化呢 教师通过以下问题，引导学生积极思考。
思考：
如图，已知D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF.
问：(1) 图中有几个平行四边形
(2) △ABC的中位线与它分成的四个三角形有什么关系 它们与原三角形又有什么关系
【设计意图】学生通过分析、思考发现，因为三角形中位线的添加，而出现了3 个平行四边形，同时将原三角形划分成了4 个全等的三角形，其边长、高线、周长、面积和原三角形都有着密切的关系。这些特有的性质让学生体会到学习不能只停留在知识的表面，必须要有深度思考的习惯，这样才能有更多的收获和更宽广的视野。
例1 如图，在△ABC 中，，， 分别是边 BC， AC， AB 的中点。
(1)若△ABC的周长为24，△ABC的面积为20，则△ 的周长为 ，面积为 .
(2)，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，依此类推，若△ABC 的周长为 a，面积为 S， 则△ 的周长为 ，面积为 .
例2 如图，在平面内任意画一个四边形ABCD，以四边的中点为顶点组成一个新四边形EFGH，这个新四边形是什么四边形 请证明你的结论。
变式训练1
如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EGFH是平行四边形吗 请证明你的结论。
变式训练2
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，延长BA，CD分别交直线EF于M，N. 试猜想∠AMF与∠DNF的关系，并证明你的结论。
【设计意图】例题一般要由浅入深，有拓展性和延伸性。在该教学环节，教师从课本例题出发，适当挖掘扩充，将例题中四边形边的中点连线围成的四边形问题变形至边的中点与对角线中点连线围成的四边形问题，使得学生思维更具灵活性。
(六) 梳理过程，总结反思
(1)本节课我们主要学习了什么
(2) 三角形中位线定理的证明给你带来哪些启示
① 研究线段间倍分关系的基本思路之一是截长补短；
② 通过添加适当的辅助线，将三角形问题转化为平行四边形问题，体现了转化好的数学思想。
(七) 活学活用，拓展练习
如图，在△ABC中，AB=AC,延长AB到点D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE，CD.求证：CD=2EC.