吉林省重点中学2021-2022学年高二下学期3月开学考试数学试题（Word版含答案）

吉林省重点中学2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学 学科试卷
考试时间：2022年3月2日
本试卷共20道题，共3页，考试时长90分钟，满分为118分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．直线在轴上的截距为
A． B． C． D．
2．东师幼儿园把本不同的图书分给个小朋友，每人至少得到一本，则不同的分法为
A． B． C． D．
3．已知向量，，则使，成立的分别为
A． B． C． D．
4．若，则取得最大值时，的值为
A． B． C． D．
5．设随机变量的分布列为，则的值为
A． B． C． －10 D．
6．长春某职业学院利用假期派名大学生到个公司实习，每名大学生随机选择个公司实习，则每个公司至少有人参加的概率为
A． B． C． D．
7．某小区有,两家超市，甲住户第天随机地选择一家超市购物，如果第天去超市，那么第天去超市的概率是；如果第天去超市，那么第天去超市的概率是，则甲住户第天去超市购物的概率为
A． B． C． D．
8．已知为抛物线的焦点，点,在该抛物线上且位于轴的两侧， (其中为坐标原点)，则与面积之和的最小值是
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）
9．口袋中有个白球其中个正品个次品，个黑球其中个正品个次品．现从中随机
取出一球，记事件“取出一球为白球”，事件“取出一球为正品”，下列说法正确
的是
A． B．
C． D．事件与事件相互独立
10．已知某校高三年级有人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标
准分的分数转换区间为，若使标准分服从正态分布，则下列说法正确的有
参考数据：①；
②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为
C．甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为
D．
11．设，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
第Ⅱ卷（非选择题共58分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．随机变量的取值为，，，若，则________．
14．如图，用种不同的颜色涂入图中的矩形，，，中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．
15．已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________．
16．已知随机变量的分布列是
－1 0 1
随机变量的分布列是
1 2 3
则当在内增大时，下列选项中正确的是________．
① ② ③ 增大 ④ 先增大后减小
四、解答题（本大题共4小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题8分）
北京冬奥会，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有名学生通过了志愿者选拔，其中名男生，名女生.
（1）若从中依次抽取名志愿者，求在第次抽到男生的条件下，第次也抽到男生的概率；
（2）若从名志愿者中任选人负责滑雪项目服务岗位，且所选人中女生人数为，求的分布列和数学期望.
18．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，．
（1）若，求直线的方程；
（2）求面积的最大值．
19．（本小题10分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
，为中点，点在上,平面，
在延长线上，，交于，且．
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上，若二面角为，
求的长度．
20．（本小题10分）
已知椭圆过点，且焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线（不与轴重合）与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．是否存在常数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
数学 学科试卷答案
考试时间：2022年3月2日
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A B B B D C BCD BC AD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13． 14． 15． 16． ②③
四、解答题（本大题共4小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题8分）
解：（1）设“第1次抽到的男生”为事件A，“第2次抽到男生”为事件B，则“第1次和第2次都抽到男生”为事件AB.
方法一根据分步乘法计数原理，得，，
所以.
方法二易知，，所以.
（2）的取值可能为0，1，2
依题意，得，，
所以的分布列为
0 1 2
.
18．（本小题10分）
解：（1）设圆心到直线的距离为，则，
解得.
根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
所以，解得，所以直线的方程为．
（2）设，且，
因为，所以，所以的面积的最大值为．
19．（本小题10分）
（1）证明：如图，取的中点，连结，，则，且，因为，交于，且，
又因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）解：由平面，平面，所以，又，和在平面内显然相交，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
取的中点，连结，因为，所以，
又平面平面，平面，
所以平面，在等腰中，．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
因为为的中点，所以，，
设，则．
设平面的一个法向量，
由，得，令，
得，，所以，
设平面的一个法向量，
所以，因为二面角为，
所以，解得，所以．
20．（本小题10分）
解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设，，，，
因为点与点关于轴对称，所以，，所以直线的斜率为，
直线的方程为，
令，解得，所以，
因为，
“存在常数，使得成立“等价于
“存在常数，使得成立”，
即成立，
化简的，
设直线方程为，，
即“存在常数，使得成立”，
由，得，
△，解得，
所以，，
所以，
，
所以成立，只需，
所以存在常数，使得成立，．