2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.3平行四边形优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-3平行四边形》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（　　）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
2．下列四个说法：
①一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
其中说法正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，所有符合条件的D点坐标是（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，﹣2），（﹣3，0）
C．（3，2），（3，﹣2） D．（﹣3，0），（3，﹣2），（3，2）
二．填空题
7．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则 ABCD的周长等于　 　．
8．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝　 　cm．
9．如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S AEPH＝　 　．
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　 　次．
11．如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
12．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　 　．
二．解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
15．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
求证：△AED≌△CFB．
16．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
17．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
18．如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；
（2）求证：AB＝CF+DM．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．
20．已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：设EF与NH交于点O，
∵在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四边形，共8个．
故选：B．
2．解：①一组对角相等，一组邻角互补．可得到任意两对邻角互补，那么可得到两组对边分别平行，为平行四边形，此选项正确；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，此选项错误；
③由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，此选项正确；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；
所以①③共2项正确，
故选：B．
3．解：∵ ABCD中，AB＝4，BC＝5，
∴AD＝5，CD＝4，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝5+4＝9，
故选：C．
4．解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S AEFD＝DF AG＝4×＝6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
5．解：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项①成立，选项②，③，④不一定成立，
故选：A．
6．解：如图所示，符合条件的点D的坐标分别是D1（﹣3，0）．
D2（3，2），D3（3，﹣2），
故选：D．
二．填空题
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AE+DE＝AD＝BC＝6，
∴AE+2＝6，
∴AE＝4，
∴AB＝CD＝4，
∴ ABCD的周长＝4+4+6+6＝20，
故答案为：20．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝AC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴OC＝3，
∴OB＝＝＝；
故答案为：．
9．解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB＝S△BGP，
同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，
即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．
∵CG＝2BG，S△BPG＝1，
∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝4×1＝4；
故答案为：4．
10．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
∴共3次．
故答案为：3．
11．解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，
∴S四边形EPFQ＝41cm2，
故答案为：41．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故答案为：36°．
二．解答题
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB＝∠FBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
16．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO＝DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠DBA＝∠A＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G＝∠A＝45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE＝OF，
∴GF＝OF＝OE，
即2FG＝EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝DO，
∴在等腰Rt△ADB 中，DB＝2DO＝2＝AD
∴AD＝2，
18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG＝2DM＝4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，
即∠DMG＝∠DGM，
∴DG＝DM＝2，
在Rt△ADG中，DE＝AD＝＝；
（2）证法一：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，
，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH＝FC，DH＝DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，
∴∠HAM＝∠HMA，
∴AH＝MH，
∴MH＝CF，
∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．
证法二：延长MD到点P，使DP＝CF，连接PE
由（1）知AD＝DE，
又AD＝DF，
∴DF＝DE，
∠DFC＝∠EDP＝90°
∴Rt△DCF≌Rt△EPD，
∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED
∴PE∥DF，
∴∠PEA＝∠DGA，
由（1）得∠DGA＝∠DME，
∴∠PEA＝∠DME
∴PM＝PE，
而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，
∴AB＝DM+FC．
证法三：过点A作AH⊥CB于点H，
易证△ABH≌△DCF，
从而证得四边形AHFD为正方形．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，
得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°
∴P、H、B三点共线
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，
∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠PAB
∵AH∥DF，
∴∠HAG＝∠DGA
而∠DGA＝∠APB
∴∠PAB＝∠APB
∴AB＝PB
∵PB＝PH+HB＝DG+FC
∴AB＝DM+FC．
证法四：在DC上截取DP＝DM，连接PF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠BAE＝∠DEA，
而∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DEA DA＝DE，
又∠ADF＝∠MDE＝90°，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴△ADM≌△EDG，
∴DM＝DG，
∴DG＝DP，
又AD＝DF，
∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，
∴△PDF≌△GDE，
∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，
∴∠CPF＝∠DGM，
∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，
∴∠CFP＝∠DMG，
而∠DMG＝∠DGM，
∴∠CFP＝∠CPF CF＝CP，
而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，
∴AB＝DM+CF．
19．解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE，
∴BE＝GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE＝CG．
20．（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD＝∠BAD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF＝DF＝5，
∴ ABDF是菱形，
∴AB＝BD＝5，
∵AD＝6，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，
即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2
解得：x＝，
∴＝，
∴AC＝2AE＝．