2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试训练卷（Word版含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
单元测试训练卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．25° B．65° C．70° D．75°
2. 已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上任意一点，则下列结论正确的是( )
A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞5
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 C．9 D．3
4. 如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出去，猫为能最省力地顾及到三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．△ABC三边垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
5. 通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )
　　　
6. 如图所示，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要使△ABC≌△ABD(HL)成立，还需要添加的条件是( )
A．∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．AB为公共边
7. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
8. 过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B，使PA＝PB，再作( )
A．线段AB的垂线 B．∠PAB的平分线
C．∠PBA的平分线 D．∠APB的平分线
9. 如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是( )
A．5 B．7 C．5 D．无法确定
10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，以AB，AC为边向外分别作等边三角形ABD和等边三角形ACE.若AC＝2，则BE的长为(　　)
A．6 B．2 C． D．5
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是__ __(填“真”或“假”)命题．
12. 如图，一个等边三角形的纸片剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是_________.
13. 如图，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，若DA＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为__ __．
14. 如图，△ABC的周长为22 cm，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，若△BCE的周长为14 cm，则AB＝__ __cm.
15. 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m，当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是____．
16. 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是_____________．(填序号)
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)
18．(8分) 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
19．(8分) 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4 cm.求：
(1)∠DAC的度数；
(2)BC的长．
20．(10分) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．
(1)求证：B′E＝BF；
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
21．(12分) 已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
22．(12分) 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次回到B点时，点M，N同时停止运动．
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？
(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形AMN
(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若存在，请求出此时M，N运动的时间．
参考答案
1-5BCCAA 6-10AAACDBACCB
11．真
12．240°
13．30°
14．8
15．1.4m
16．①②③④
17．解：点M即为所求
18．解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由如下：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD.(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC, ∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
19．解：(1)∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵AB⊥AD，∴∠DAC＝120°－90°＝30°
(2)∵AD＝4 cm，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8 cm.∵∠DAC＝30°＝∠C，∴DC＝AD＝4 cm，∴BC＝BD＋DC＝12 cm
20．解：(1)证明：由题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE.又∵AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′FE＝∠B′EF，∴B′F＝B′E，∴B′E＝BF　(2)a，b，c的关系为a2＋b2＝c2，连接BE，则BE＝B′E，由(1)知B′E＝BF＝c，∴BE＝c.∵AE2＋AB2＝BE2，又∵AE＝a，AB＝b，∴a2＋b2＝c2(若写a＋b>c也可以)
21．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由：在△EOB和△DOC中， ∴△EOB≌△DOC(AAS)．∴OE＝OD.又∵OE⊥AE，OD⊥AD，∴点O在∠BAC的平分线上．
22．解：(1)设点M，N运动x秒后，M，N两点重合，则x＋12＝2x，解得x＝12，故点M，N运动12秒后，M，N两点重合．
(2)设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵三角形AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴点M，N运动4秒后，可得到等边三角形AMN.
(3)当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形AMN，由(1)知12秒时M，N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M，N在BC边上运动时，M，N运动的时间为y秒时，△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴CM＝y－12，NB＝36－2y，又∵CM＝NB，∴y－12＝36－2y，解得y＝16.∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16秒．