模块综合检测 1（北师大选修1-1）

模块综合检测1（1-1）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2)
C．(0,4) D．(0，－4)
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(　　)
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
5．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
6．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于(　　)
A．2 B.
C. D．1
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
8．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
9.已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是(　　)
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．命题：任意x∈R，使x2＋x＋7>0的否定为________．
12．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
13．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则曲线f(x)＝xln x在点(x0，f(x0))处的切线方程为________．
14．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.
(1)求a、b的值；
(2)求出函数f(x)的单调区间．

18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．

选修1-1模块综合检测答案
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
D
D
D
A
D
C
B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11. 存在x∈R，使x2＋x＋7≤0 12. (－1,11) 13. 2x－y－e＝0 14. ②③
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．解：p：0<2m<1－m?0q：1<<2?0p且q为假，p或q为真?p假q真，或p真q假．
p假q真??≤m<15，
q假p真??m∈?.
综上可知m的取值范围为.
16．解：由题意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0，
即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝.
当e＝时，曲线为椭圆，c＝5，e＝＝，
则a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75，
所以椭圆的方程为＋＝1.
当e＝时，曲线为双曲线，c＝5，e＝＝，
则a＝c＝，b2＝c2－a2＝25－＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
17．解：(1)因为f(x)＝x3－3ax2＋2bx，所以
f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
因为f(x)在x＝1处有极小值－1，
所以??
(2)解方程f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
所以，当x<－或x>1时，f′(x)>0；
当－综上，f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间为.
18．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.
选修1-1模块综合检测（1）答案
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2)
C．(0,4) D．(0，－4)
解析：由定义可得焦点坐标为(0，－2)．
答案：B
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(　　)
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
解析：设p为“若A，则B”，则r为“若非A，则非B”，s为“若非B，则非A”，即s为p的逆否命题．
答案：A
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．
答案：C
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f′(x)>0，得x>2.
∴f(x)在(2，＋∞)上是增加的．
答案：D
5．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.
答案：D
6．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于(　　)
A．2 B.
C. D．1
解析：∵c2＝a2＋3，∴＝＝4，得a＝1.
答案：D
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：A
8．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
答案：D
9.已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是(　　)
解析：x>0时，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0，
在(1，＋∞)上有f′(x)>0；
且x＝1处f(x)取极小值．
x<0时，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0，
在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1处f(x)取极大值，
即函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C符合题意．
答案：C
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：a>0时，F，直线l方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··|－|＝4.解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．命题：任意x∈R，使x2＋x＋7>0的否定为________．
解析：全称命题的否定为特称命题，即存在x∈R，使x2＋x＋7≤0.
答案：存在x∈R，使x2＋x＋7≤0
12．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加；
当－1答案：(－1,11)
13．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则曲线f(x)＝xln x在点(x0，f(x0))处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝ln x＋1，f′(x0)＝2，
∴ln x0＋1＝2，x0＝e，f(x0)＝e.
则切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.
答案：2x－y－e＝0
14．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解：p：0<2m<1－m?0q：1<<2?0p且q为假，p或q为真?p假q真，或p真q假．
p假q真??≤m<15，
q假p真??m∈?.
综上可知m的取值范围为.
16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．
解：由题意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0，
即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝.
当e＝时，曲线为椭圆，c＝5，e＝＝，
则a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75，
所以椭圆的方程为＋＝1.
当e＝时，曲线为双曲线，c＝5，e＝＝，
则a＝c＝，b2＝c2－a2＝25－＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.
(1)求a、b的值；
(2)求出函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝x3－3ax2＋2bx，所以
f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
因为f(x)在x＝1处有极小值－1，
所以??
(2)解方程f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
所以，当x<－或x>1时，f′(x)>0；
当－综上，f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间为.
18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.