山西大学附中2012高二上学期12月考试
数学试题
考试时间:(90分钟) 考试内容:(解析几何与简易逻辑 )
一、选择题(每题5分共60分)
1.命题“存在实数,使 > 1”的否定是( )
A.对任意实数, 都有>1 B.不存在实数,使1
C.对任意实数, 都有1 D.存在实数,使1
2.(文科)设集合,,
则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
2.(理科)若实数满足,且,则称与互补,记那么是与b互补的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知<4,则曲线和有( )
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
4.圆与圆的位置关系为( )21世纪教育网
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
5.若曲线:与曲线:有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.(,) B.(,0)∪(0,)
C.[,] D.(,)∪(,+)
6.(文科)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.(理科)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是( )
A.[,] B.[,3]21世纪教育网
C.[-1,] D.[,3]
8.直线与圆相交于M,N两点,若,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
10.(文科)已知、为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.
10.(理科)设O为坐标原点,,是双曲线(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠P=60°,∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为( ) 21世纪教育网
A. x±y=0 B. x±y=0 C.x±=0 D.±y=0
11.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若。则k =( )
A.1 B. C. D.2
12.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )
A.必在圆内 B.必在圆上
C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能21世纪教育网
二、填空题(每题6分共24分)
13.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
14. 设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B,且与圆相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 。
15.记实数…中的最大数为{…},最小数为min{…}.已知的三边边长为、、(),定义它的倾斜度为
则“t=1”是“为等边三角形”的 条件(充分不必要;必要不充分;充要条件;既不充分也不必要)
16.(理科)过双曲线:的左顶点作斜率为的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点、,且,则该双曲线的离心率为
16.(文科)过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦
点,若, 则该椭圆的离心率为
三、解答题(共66分)
17.(12分)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围.
18.(13分)在直角坐标平面内,已知点, 是平面内一动点,直线、斜率之积为. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 21世纪教育网
19.(理科).(13分)已知圆C的方程为:x2+y2=4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程;
(2)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;
(3)圆C上有一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
19.(文科)(13分)已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2),并且直线m:3x-2y=0平分圆C.
(1)求圆C的方程;
(2)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.且·=12,求k的值.
20.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,平行于x轴且过点A(3,2)的入射光线 l1
被直线l:y=x反射.反射光线l2交y轴于B点,圆C过点A且与l1, l2 都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程;
(2)设分别是直线l和圆C上的动点,求的最小值及此时点的坐标.
21.(14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线在轴上的截距为,交椭圆于A、B两个不同点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.
山西大学附中2012高二上学期12月考试数学试题答案
一、(每题5分共60分)1 C 2文C理C 3 B 4 B 5 B 6文B 理D
7 D 8 A 9 D 10 文B理 D 11 B 12 A
二、(每题6分共24分) 13、 14、3 [来源:21世纪教育网]
15、必要不充分 16、21世纪教育网
三、解答题(共66分)
17.(12分)解: 若方程x2+mx+1=0有两不等的负根,则解得m>2,
即命题p:m>2 …………………………………………………………3分
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0
解得:1<m<3.即q:1<m<3.………………………………………………6分
因“p或q”为真,所以p、q至少有一为真,
又“p且q”为假,所以命题p、q至少有一为假,…………………………9分
因此,命题p、q应一真一假,即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.
∴ 解得:m≥3或1<m≤2.…………………12分
18、(13分)解: (Ⅰ)设点的坐标为,依题意,有
. 化简并整理,得. 21世纪教育网
∴动点的轨迹的方程是. ………………5分
(Ⅱ)解法一:依题意,直线过点且斜率不为零,故可设其方程为, ……6分
由方程组 消去,并整理得 ……………………8分
设,,则 21世纪教育网
∴ ∴,
, ……………10分 (1)当时,; …………11分
(2)当时, .21世纪教育网
. 且 .
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是:.……………… 13分
解法二:依题意,直线过点且斜率不为零.
当直线与轴垂直时,点的坐标为,此时,; …………6分
当直线的斜率存在且不为零时,设直线方程为, 21世纪教育网
由方程组 消去,并整理得 8分
设,,则
∴,
, ……………………………………10分
. .且 .……12分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是:………………13分
19(13分).(理科)解 (1)显然直线l的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),则由=2得,
k1=0,k2=-,故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.…………4分(2)当直线l垂直于x轴时,
此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和
(1,-),这两点的距离为2,满足题意;……………………………………6分
当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d,则2=2,∴d=1,∴ ∴k=,此时直线方程为3x-4y+5=0,
综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1.…………………………9分
(3)设Q点的坐标为(x,y),∵M(x0,y0),=(0,y0),=+,
∴(x,y)=(x0,2y0),∴x=x0,y=2y0.………………………………………………10分 [来源:21世纪教育网]
∵x+y=4,∴x2+2=4,即+=1,∴Q点的轨迹方程是+=1,………12分
Q点轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.………………13分
19.(13分)(文科)解 (1)线段AB的中点E,kAB==-1,故线段AB的中垂线方程为y-=x-,即x-y+1=0.………………………2分因为圆C经过A、B两点,故圆心在线段AB的中垂线上.
又因为直线m:3x-2y=0平分圆C,所以直线m经过圆心.
由解得,,即圆心的坐标为C(2,3),
而圆的半径r=|CB|==1,
所以圆C的方程为:(x-2)2+(y-3)2=1.……………………………………6分
(2)将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得,
将①代入②得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,……………………………………8分
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则由根与系数的关系可得:
x1+x2=,x1x2=,
而y1y2=(kx1+1)·(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,21世纪教育网
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(1+k2)·+k·+1=+8,
故有+8=12,整理k(1+k)=1+k2,解得k=1.经检验知,此时有Δ>0,所以k=1.…13分
20.(14分)解:(1)直线设.21世纪教育网
的倾斜角为,反射光线所在的直线方程为
. 即.………………………………3分
已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上, ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上,,,圆C的半径r=3,
故所求圆C的方程为. …………………………7分
(2)设点关于的对称点,则,得,……9分
固定点Q可发现,当共线时,最小,故的最小值为…12分
.此时由,得. ………14分
21、(14分)解:(1)设椭圆方程为21世纪教育网
则 ∴椭圆方程…………4分
(2)∵直线l平行于OM,且在轴上的截距为m 又 ∴l的方程为:
由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点, ∴m的取值范围是……………8分
(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可……21世纪教育网……9分
设
可得……………10分21世纪教育网
而
…………12分21世纪教育网
∴k1+k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…14分
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