表3-1 主题单元设计模板
主题单元标题
解三角形
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化学
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劳动与技术
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美术
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科学
数学
外语
历史
社区服务
体育
物理
地理
社会实践
其他(请列出):
适用年级
高中二年级
所需时间
5课时
主题学习概述(简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况,解释专题的划分和专题之间的关系,主要的学习方式和预期的学习成果,字数300-500)
本单元是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上,进一步学习解三角形知识的,是对三角函数的一次深化,这一单元主要包括正弦定理和余弦定理、应用举例与实习作业三部分知识。学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并认识运用他们可以解决一些与测量和几何有关的实际问题。
在本主题单元中,我把三部分知识设计成三个专题来组织学习活动。专题一是正弦定理,专题二余弦定理,专题三是解斜三角形和实际应用。这三个专题是层层深入,环环相扣的,既源于教材,又不拘泥于教材,且适当进行了拓展和延伸,达到学为所用的最高目标。
学习过程中主要采取学生自学与小组交流和探究相结合的方式,整个学习过程注意新旧知识的联系和数学思想方法的运用。
学习成果:通过本单元学习,学生能掌握正弦定理、余弦定理,并能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,最终获得从知识到能力的转化,体验解决实际问题的成就感。
主题学习目标(描述该主题学习所要达到的主要目标)
知识与技能:
1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,理解并掌握正弦定理和余弦定理的内容及其证明方法;
2.能正确运用正弦定理和余弦定理解斜四类三角形度量问题。
3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题。
过程与方法:
结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握类比的方法解决实际问题。通过开放性题目中鼓励学生讨论,开放多种思路,学生形成小组合作与交流解决问题的方法。
情感态度与价值观:
1. 通过对生活实物的高度、距离的测量,提升动手能力并增强数学的应用意识。
2. 学生通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,体会了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上理解事物间的内在联系。
3. 在成果交流与评价过程中,培养学习的主动性及进一步提高用语言表达测量过程与测量结果的能力。
对应课标
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
主题单元问题设计
基本问题:在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?
单元问题:解三角形在实际测量及设计中有何应用?
内容问题:1.在某些条件下怎样解三角形?
2.应用正、余弦定理如何解决一些实际生活中的测量问题?例如(1).怎样在测出校园里旗杆的高度?(2)怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?
3.在实际生活中怎样用三角形的知识来满足我们的实际需求?
专题划分
专题一.正弦定理 (1课时)
专题二.余弦定理(2课时)
专题三. 解斜三角形和实际应用(2课时)
专题一
专题一.正弦定理
所需课时
1课时
专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用,以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
专题一是本单元的最基础课程,它的学习过程和方法都对下面的学习产生深刻的影响,也为后面提供了一种学习模式。本专题主要内容有:正弦定理的内容及证明方法,可以解决的两种解斜三角形类型。通过自学、讲授、练习、交流相结合的方式,学生熟悉课程内容并能解决两种解三角形类型。
本专题学习目标 (描述该学习所要达到的主要目标)
知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
本专题问题设计
基本问题:遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?
单元问题:在任意三角形中,我们是否能得到边角关系准确量化的表示吗?
内容问题:1、根据三角函数的定义,能否得到直角三角形中边角量化的准确表示?
2、直角三角形中边角的量化关系式对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立?
3、正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?
4、什么叫解三角形?
5、利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?
6、如何用三角形中的边角表示三角形的面积?
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
ppt课件
常规资源
三角模板,计算器
教学支撑环境
多媒体教室
其 他
量角器
学习活动设计(针对该专题所选择的活动形式及过程)
活动一:复习三角形中的边角关系,解直角三角形
问题1:三角形中的边角关系有哪些? 学生集体回答
问题2:如何解直角三角形? 学生讨论,小组推荐代表回答
问题3:你能得到直角三角形中边角量化的准确表示吗? 学生分组讨论,教师引导学生发现正弦定理的关系式
活动二:学生分组,探究一般三角形中的边角量化的准确表示
问题4:直角三角形中的边角量化对于锐角三角形和钝角三角形还成立吗?
1) 学生根据分组,分别推导正弦定理在锐角三角形和钝角三角形中仍然成立 2) 分组展示交流 3) 教师总结,多媒体展示其余证明方法
问题5:正弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?
学生自己总结,小组展示
活动三:根据正弦定理,解两类三角形,学生完成学案练习
问题6:什么是解三角形?
教师讲解,学生明确意义
问题7:根据练习题,总结正弦定理能解哪些三角形?
学生分组研讨,根据练习及公式归纳正弦定理解的两类问题:①已知两边及一边对角,②已知两角及任意一边
活动四:推导三角形面积公式
问题8:如何计算三角形的面积?
学生集体回答
问题9:你能否利用三角形的部分元素表示三角形的面积吗?
学生分组探究,利用初中所学公式,推导面积公式,并分组展示
教学评价
可评价的学习要素
1、 正弦定理的推导过程
评价方法:现场评价,学生自评、互评,教师评价
评价指标:1)分类标准明确,不重复不遗漏
2)推导过程准确
3)结果准确
2、正弦定理的表述
评价方法:对照课本表述
评价说明:根据课本对正弦定理的表述,要求学生对照自己的描述进行评价和修改
3、正弦定理解三角形的类型
评价方法:学生互评,教师评价
评价指标:1)归类准确,
2)语言表述清晰
4、面积公式的推导过程
评价方法:现场评价,学生互评
评价指标:1)推导过程完整 2)结果表达准确
专题二
余弦定理
所需课时
2课时
专题二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用,以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
在专题一的学习中,学生已经掌握了正弦定理的推导过程,同时应用正弦定理解了两类三角形,并推导了三角形 的面积公式。本专题的学习进一步引导学生证明余弦定理,量化三角形中的边角关系。
本专题通过教师引导学生通过探究性学习活动推导余弦定理,让学生进一步体会解三角形的类型。 具体活动有三个内容:第一,探究如何从已知三角形的两边和它们的夹角解三角形,引导学生推导余弦定理。第 二,余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题,如何求解。
这个内容学生完全可以类比正弦定理进行探究,并且得 出余弦定理的推论。第三,正弦定理和余弦定理在应用上有哪些联系和区别,通过这个内容,让学生在解三角形时灵 活选择两个定理,提高对两个定理的理解和应用能力。
本专题学习目标 (描述该学习所要达到的主要目标)
知识与技能: 1掌握余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题
2能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
过程与方法: 1经历实验观察、实例探究讨论交流的过程体验三角形的边角关系。
2利用向量关系证明余弦定理。
情感、态度与价值观: 1注重数学知识的应用性体现学以致用的原则
2体验自主学习过程养成乐于观察、勤于思考和合作交流的能力和学习习
本专题问题设计
基本问题:如果已知三角形的两边及其夹角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、 形状完全确定的三角形。那么如何根据三角形的两边和它们的夹角去解这个三角形 呢?
单元问题:余弦定理能解决哪些三角形问题?
内容问题:1. 能否根据平面几何方法或向量方法或坐标法探究余弦定理?
2. 你能用文字语言叙述余弦定理吗?
3. 类比正弦定理,余弦定理能够解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?
4、正弦定理和余弦定理在应用上有哪些联系和区别?
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
ppt课件
常规资源
三角模板,计算器
教学支撑环境
多媒体教室
其 他
学习活动设计(针对该专题所选择的活动形式及过程)
活动一:复习巩固上一专题内容
1、教师出示一组练习题,题目要涉及到已知两角及任一边,已知两边及一边对角,三角形的面积公式,让学生利用 正弦定理给出解答.
2、学生独立完成,小组互评,学生订正答案,进一步复习.
活动二:探究余弦定理的推导
1、 导入情景,提出问题
通过对任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角量化,我们发现了正弦定理,解决了两类解三角形的问题.那么 如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的 三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢?
学生思考,讨论,探索.
2、 教师设置问题,引导学生探究余弦定理
问题1:能否用平面几何法或向量方法或坐标方法探究出计算三角形第三边的长度关系式或计算公式呢?
1) 学生分组,分别利用不同方法进行探究
2) 学生小组展示成果
问题2:你能用文字语言叙述余弦定理吗?
学习分组讨论,组织语言,展示成果
问题3:余弦定理与以前学习过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近?
学生思考,分组讨论,展示成果,教师提升结论
活动三:归纳余弦定理的应用
问题4:类比正弦定理,余弦定理能够解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?
学生分组展示,教师归纳,多媒体展示
问题5:如果知道三角形的三边,如何解三角形?计算公式是什么?
学生根据练习题及余弦定理,容易得出余弦定理的推论.
活动四:正余弦定理的联系
问题6:正弦定理和余弦定理在应用上有哪些联系和区别?
学生分组讨论,展示,教师订正,并集体探究“已知三角形三边及一个角,解三角形”得到:若用余弦定理的推 论,可以根据余弦值直接判断角的大小,但计算比较麻烦;若用正弦定理相对计算量较小,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小,所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角,避免进一步的讨论.
教学评价
可评价的学习要素
1、 余弦定理的探究过程
评价方法:现场评价,学生自评、互评,教师评价
评价指标:1)推导过程准确
2)结果准确
2、余弦定理的表述
评价方法:对照课本表述
评价说明:根据课本对余弦定理的表述,要求学生对照自己的描述进行评价和修改
3、余弦定理解三角形的类型及余弦定理的推论
评价方法:学生互评,教师评价
评价指标:1)归类准确 2)语言表述清晰 3)推论表述准确
4、正余弦定理的联系
评价方法:教师评价
评价指标:1)共同点表述准确 2)异同点表述准确 3)定理的联系表述准确
专题三
解斜三角形和实际应用
所需课时
2课时
专题三概述 (介绍本专题在整个单元中的作用,以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
在专题一和专题二的学习中,学生已经掌握了正弦定理以及余弦定理的内容及推导过程,同时能够应用正弦定理和余弦定理解了四类三角形问题,并推导了三角形的面积公式.
“解三角形”既是高中数学的基本内容,又有较强的应用性。本专题通过教师引导学生进行学生合作探究,开展研究性学习活动,利用正余弦定理解决不可到达的两点间的距离,测量底部不可到达的建筑物的高度以及测量角度等,培养学生学以致用的能力.
本专题学习目标 (描述该学习所要达到的主要目标)
知识与技能: 能够利用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题
过程与方法:通过运用正弦定理、余弦定理解决一些实际问题,提高用数学方法解决实际问题的能力
情感、态度与价值观: 探索利用数学工具解决实际问题的方法,体会数学在现实生活中的应用。
本专题问题设计
基本问题:遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?
单元问题:总结解斜三角形应用题的一般步骤
内容问题:1、学校诚毅广场前面的旗杆底部不可到达,顶部不可触及,如何测量旗杆的高度? 2、学校人工湖东西两岸各有一棵柳树,你站在西岸,不到东岸去,如何测量这两棵树之间的距离?
3、学校人工湖东岸有一棵松树和一棵柳树,你在西岸,不到东岸去,如何测量这两棵树之间的距 离?
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
ppt课件
常规资源
计算器、量角器
教学支撑环境
多媒体教室,室外测量仪器
其它
经纬仪、卷尺
学习活动设计(针对该专题所选择的活动形式及过程)
第一课时
活动一:创设情境,激发学生学习的兴趣
1、教师课件展示,学校诚毅广场的五星红旗迎风飘扬,同学们仰视国旗,高唱国歌.
2、教师提出问题:旗杆底部不可到达,顶部不可触及,如何测量旗杆的高度?
活动二:划分小组,确定各自任务
1、 教师以班级数学兴趣小组同学为骨干组建学习小组,每组10 人,班级分为5 个小组.
2、 各小组的组长进行组内成员分工,分别负责策划、测量、记录、汇总、后勤。
活动三:组内讨论确定测量方案.
1、 各小组内的同学在组长的带领下,集思广益,考虑测量旗杆高度的方案.
2、 根据该方案,考虑需要测量哪些数据.
3、 教师巡回指导,帮助学生完成未完成的方案
活动四:按照分工,各小组实地测量有关项目的数据,并把相应数据填写在Excel 制作的表格中 教师指导测量仪器的使用以及注意事项,教会学生使用测量仪器
活动五:各小组分别根据各自的方案,利用计算器或借助Excel 的统计、计算功能,计算旗杆的高度
活动六:展示交流
1、 各小组分别展示成果,包括测量方案,测量的数据,最终的结果,结论的一般性以及研究性学习活动过程中 小组成员的合作
2、 教师出示测量高度的范例,各小组对照范例进行自评和互评
3、 教师总结
第二课时
活动一:复习并提出新问题
1、 复习“底部不可到达,顶部不能触及的建筑物高度的测量方案”
2、在复习的基础上进一步提出新的问题:
问题1:学校人工湖东西两岸各有一棵柳树,你站在西岸,不到东岸去,如何测量这两棵树之间的距离?
活动二:小组讨论,提出解决问题的方案并进一步展示成果 教师在订正的基础上,进一步提出问题:
问题2:学校人工湖东岸有一棵松树和一棵柳树,你在西岸,不到东岸去,如何测量这两棵树之间的距离?
活动三:组内讨论确定测量方案.
1、 根据第一课时的小组分配,各小组内的同学在组长的带领下,集思广益,考虑测量两棵树距离的方案.
2、 根据该方案,考虑需要测量哪些数据.
3、 教师巡回指导,帮助学生完成各小组的方案
活动四:按照分工,各小组实地测量有关项目的数据,并把相应数据填写在Excel 制作的表格中 教师巡回检查各个小组,进一步指导测量仪器的使用以及注意事项
活动五:各小组分别根据各自的方案,利用计算器或借助Excel 的统计、计算功能,计算两棵树的距离 活动六:展示交流
1、 各小组分别展示成果,包括测量方案,测量的数据,最终的结果,结论的一般性以及研究性学习活动过程中 小组成员的合作
2、教师出示测量不可到达两点的距离的范例,各小组对照范例进行自评和互评
3、教师总结解斜三角形的一般步骤,(1)分析(2)建模(3)求解
(4)检验
教学评价
可评价的学习要素
1、 测量方案
评价方法:学生自评、互评,教师评价
评价指标:1)简便易行 2)容易操作 3)具有一般性
2、数据统计
评价方法:现场根据量规评价
评价指标:1)正确使用仪器,无安全事故 2)读数准确,符合实际 3)读数方便计算
3、数据计算
评价方法:学生互评,教师评价
评价指标:1)能够熟练应用计算器、Execl 等软件进行计算 2)结果准确 3)结果符合实际
4、最终成果
评价方法:学生自评、互评,教师评价
评价指标:1)测量方案适用于一般情况 2)计算结果适用于一般情况 3)文字表述条理性好
5、成员参与
评价方法:现场根据量规评价
评价指标:1)对研究性学习活动感兴趣 2)分工明确 3)能够很好的交流合作