【精品解析】重庆市第一中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷

重庆市第一中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022九下·重庆开学考）下列函数中，自变量x的取值范围是 的函数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022九下·重庆开学考）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米.0.00000015米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022九下·重庆开学考）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2019八上·萧山月考）已知点M(a，2)，B(3，b)关于y轴对称，则a＋b＝（　　）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
6．（2022九下·重庆开学考）估计 的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
7．（2022九下·重庆开学考）如图所示，在直角坐标系中， ， ，△ABC为等腰直角三角形，以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作 ，则 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022九下·重庆开学考）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的内切圆圆心到三角形三个顶点的距离相等
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
9．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P.BC＝6，则B到CP的距离为（　　）
A． B．3 C． D．
10．（2022九下·重庆开学考）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培.停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（bA． B．
C． D．
11．（2022九下·重庆开学考）如果关于x的分式方程 的解为整数，且关于y的不等式组 有解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．4
12．（2022九下·重庆开学考）将数按以下规律排列：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11……，以此类推，四个同学分别得出一个结论：
杨一：第99个数是99；
张三：第2022个数是2；
李四：前101个数的和为2652；
王五，前200个数中有7个完全平方数；
四个结论正确的有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．（2022九下·重庆开学考）计算： 　 　.
14．（2022九下·重庆开学考）现有3张分别标有数字：－1、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点C的横坐标a，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点C的纵坐标b，则点C落坐标轴上的概率是　 　.
15．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，以AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为　 　.
16．（2022九下·重庆开学考）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋　 　元.
三、解答题
17．（2022九下·重庆开学考）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：
（2）化简：
18．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC中点，F为BC上一点， 于E.
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于G.（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
（2）填空：
求证：AG＝CF
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝ °
∵AG平分∠BAC
∴ （ ）（填推理依据）
∴∠BAG＝∠C
∵
∴∠AEB＝90°＝∠
∴∠1＋∠BAE＝90°，∠2＋∠BAE＝90°
∴∠1＝∠2
∴△ACF≌ .
∴AG＝CF
19．（2021九上·重庆月考）近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会.为了宣传近视防控知识.某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： ， ， ， ， .并给出了部分信息：
（一）八年级D等级的学生人数占八年级抽取人数的20％，
九年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75.
（二）两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：
（三）两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
　 平均数 中位数 众数
八年级 76 75 73
九年级 76 a 72
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1700人，请估计该校八、九年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数.
20．（2022九下·重庆开学考）如图，一次函数 （ ）的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形ABCD，边 轴于点E，若点A坐标为 ，BE＝8， .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
21．（2022九下·重庆开学考）某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，则称受台风影响.
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据： ， ）
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级
（2）求该城市O到A处的距离.
22．（2022九下·重庆开学考）春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部停出，水果店获利1800元.
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值.
23．（2022九下·重庆开学考）如果一个自然数M能分解成A×B，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”，例如：
∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美数”；
∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美数”.
（1）判断2100和168是否是“十全九美数” 并说明理由；
（2）若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为 ：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为 .当 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M.
24．（2022九下·重庆开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
（3）把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来.
25．（2022九下·重庆开学考）如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点F为CE的中点.
（1）如图1，A，D、B在同一直线上，∠CAD＝∠DBE＝90°，AC＝AD＝1，BD＝BE＝2，求DF的长度；
（2）如图2，A、D、F在同一直线上，G为AF延长线上一点（AF（3）如图3，在（1）问的条件下，将△ADC绕着点D逆时针旋转，连接BF，将△BDF沿着BD翻折得△BDH，连接EH，当CF最大时，直接写出此时点B到直线EH的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
选项B中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
选项C中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A. 中x≥1，此选项不符合题意；
B. 中x＞1，此选项符合题意；
C. 中x≥ ，此选项不符合题意；
D. 中x≥2，此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，求出x的范围，据此判断A，同理判断C、D；根据二次根式以及分式有意义的条件可得x-1>0，求出x的范围，据此判断B.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000015
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： 属于因式分解，故A符合题意；
B选项运算错误且属于因式分解；故B不符合题意；
属于整式的乘法运算，故C不符合题意；
不属于因式分解，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
5．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M(a，2)，B(3，b)关于y轴对称，
∴a=-3，b=2，
∴a+b=-3+2=-1.
故答案为：B.
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可求出a，b的值，然后代入a+b求值即可。
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=，根据估算无理数大小的方法估算出的范围，据此解答.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；位似变换；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： 以 为位似中心，把 按相似比 放大，放大后的图形记作△ ，
，
点 是线段 的中点，
， ，
由勾股定理得： ，
，
根据相似知： 为等腰直角三角形，
，
A、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
B、当 时，由勾股定理得： ，选项正确，符合题意；
C、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
D、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得AB=AB′，根据点A、B的坐标可得AB，进而得到AB′，易知△AB′C′为等腰直角三角形，结合勾股定理求出AC′，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等；故A不符合题意；
对角线相等且平分的四边形是矩形；故B不符合题意；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故C不符合题意；
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等，据此判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作直径 连接 过 作 于
而
为 的切线，
即B到CP的距离为
故答案为：C.
【分析】作直径CC′ ，连接BC′，过B作BH⊥PC于H，根据三角函数的概念可得sin∠C′的值，根据同角的余角相等可得∠C′=∠BCP，然后根据三角函数的概念计算即可.
10．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、根据先行驶及后返回复印的速度相同可判断，选项不正确，不符合题意；B、根据停下来聊天，距离不变，可判断选项不正确，不符合题意；
C、根据 ，即返回的距离小于前进的距离，即可判断选项不正确，不符合题意；
D、图象满足行走 休息 返回途中 加速行走的变化过程，选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据先行驶及后返回复印的速度相同可判断A；根据停下来聊天，距离不变，可判断B；根据b11．【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
关于x的分式方程 的解为整数，
则
或
解得： 或 或 或
又 则 即
所以 或 或
由①得：
由②得：
关于y的不等式组 有解，
综上： 或
符合条件的所有整数a的和为
故答案为：A.
【分析】求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数可得a的值；求出不等式的解集，根据不等式组有解可得a的范围，进而可得符合条件的a的值，然后求和即可.
12．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据数列可知：
第99个数是99，故杨一得出的结论正确；
第2022个数是2，故张三得出的结论正确；
前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13， ，2，101，其中，1，3，5，7，9， ，99，101，共51个数，2有50个
所以，前101个数的和为：
=
=
=
=2701，
故李四得出的结论不正确；
前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，共7个数，故王五得出的结论正确，
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据数列可知：第99个数是99，第2022个数是2，前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13， ，2，101，求出前101个数的和；前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，据此判断.
13．【答案】6
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：
=
=6
故答案为：6.
【分析】根据负整数指数幂的运算性质以及算术平方根的概念可得原式=3+3，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意可得如下表格：
　 -1 0 2
-1 / （0，-1） （2，-1）
0 （-1，0） / （2，0）
2 （-1，2） （0，2） /
∵一共有6种可能，而点C落在坐标轴上的情况有4种，
∴点C落坐标轴上的概率为 ；
故答案为： .
【分析】列出表格，找出总情况数以及点C落在坐标轴上的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．【答案】 －3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2
∴AB2 =AC2－BC2=108
∴AB= =6
∵BC= AC
∴∠A=30°
∴ ∠C=90°－∠A=60°
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是直角三角形
∴∠MBD=90°－∠A=60°
∵M是AB的中点
∴MD=MB= AB=3
∴△MBD是等边三角形
∴ BD=MD=MB=3
∴S扇形BMD －S△MBD
= MB MD×sin60°
= －
∵∠C=60°，OC=OD=3
∴△COD是等边三角形
∴∠COD=60°
∴∠BOD=180°－∠COD=120°
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
S△BOD= S△BDC－ S△ODC
= BD DC－ OD OCsin∠DOC
= －
=
∴S扇形BOD －S△OBD
=
=3 －
∴阴影部分的面积S
= S半圆BOC－（S扇形BMD －S△MBD）－（S扇形BOD －S△OBD）
= × － ( － )－(3 － )
=9 －3
故答案为：9 －3 .
【分析】分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，根据勾股定理可得AB，易得△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得MD=MB=AB=3，推出△MBD、△COD是等边三角形，求出S扇形BMD、S△MBD，根据S△BOD=S△BDC-S△ODC求出S△BOD，然后根据S阴影=
=S半圆BOC-(S扇形BMD-S△MBD)－(S扇形BOD-S△OBD)进行计算.
16．【答案】50
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋 元， 元， 元， 元，
则
由①②得：
由②③得：
则
把 代入①可得：
都为正整数，且
当 时，
则
或
当 时， 不合题意，舍去，
当 时， 符合题意，
此时 ，
所以：腊排骨每袋50元.
故答案为：50.
【分析】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋a元，b元，c元，d元，根据“ 甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元 ”可得关于a、b、c、d的方程组，化简可得d=a-10，b=83-a，根据a、b、c、d均为正整数结合a>b≥30可得a、b的值，进而得到c的值.
17．【答案】（1）解：
则
即
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（2）首先对括号外分式的分子进行分解，对括号内的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
18．【答案】（1）解：如图
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵AG平分∠BAC
∴∠BAG= ∠BAC=45°（角平分线定义）（填推理依据）
∴∠BAG＝∠C ∵AF⊥BD
∴∠AEB＝90°＝∠BAD
∴∠1＋∠BAE＝90°，∠2＋∠BAE＝90°
∴∠1＝∠2
∴△ACF≌△BAG ∴AG＝CF
故答案为：45°；角平分线定义；∠BAD；△BAG.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，交点为 ，连接 ， 即为 的角平分线， 与 交点即为点 ；
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC长为半径画弧，交点为M，连接AM，AM即为∠BAC的角平分线，AM与BD的交点即为点G；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝45°，根据角平分线的概念可得∠BAG= ∠BAC=45°，则∠BAG＝∠C ，根据同角的余角相等可得∠1＝∠2 ，证明△ACF≌△BAG，据此可得结论.
19．【答案】（1）解：a＝74，m＝16；补全条形统计图如图：
（2）解：八年级年级的学生对近视防控知识掌握较好.理由如下：
虽然八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数比八年级的高，因此八年级的成绩较好；
（3）解：1800× ＋1700×2×16%
＝792＋544
＝1336（人）.
答：估计该校八、九年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）∵九年级D、E组的人数之和=50×（32%+4%）=18（人），
又∵九年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75，
∴a＝（74＋74）÷2＝74，
∵（1 32% 32% 4%）÷2＝16%，
∴m＝16，
八年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50 10 12 16 10＝2（人），
补全条形统计图如图：
答：a＝74，m＝16；
【分析】（1）将九年级抽取的50名同学的成绩从低到高排列后，位于第25与26两个成绩的平均数就是中位数a值；利用扇形统计图中各部分百分比之和等于1，即可求m的值；分别求出D、E等级的人数，然后补图即可；
（2）从平均数、中位数、众数这三方面进行分析即可；
（3）利用样本中八、九年级分数不低于80分的人数所占的百分比分别乘以各年级人数，再相加即得结论.
20．【答案】（1）解： BE＝8， ，边 轴，
所以反比例函数为：
解得：
所以一次函数的解析式为：
（2）解：
四边形 为菱形，
而边 轴，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）易得B（8，），代入y=中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式，将y=6代入求出m的值，可得点A的坐标，然后将点A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b，进而可得一次函数的解析式；
（2）根据两点间距离公式可得AB，由菱形的性质可得AD=AB，AD∥BC，据此不难求出点D的坐标.
21．【答案】（1）解：如图，作
由题意知 千米
千米
∵
∴
∴
∵
∴当台风中心位于 点时，城市受到台风影响最大，最大风力为5级
（2）解：由题意知
千米
∴城市O到A处的距离为238千米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）作OE⊥AB，由题意知CD=10×20=200千米，OC=OD=200千米，推出△OCD为等边三角形，得到∠OCD=60°，利用三角函数的概念求出OE，据此解答；
（2）由题意知∠OAC=45°，∠AOE=45°，AE=OE，则AO=AE，据此计算.
22．【答案】（1）解：设水蜜桃的进价为每千克x元，则苹果的进价为每千克1.2x元，
由题意列方程为： ，
解得：x=5，
∴水蜜桃的进价为每千克5元
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
解得：a=25或a=0（不符合题意，舍去）
∴a的值为25
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价为每千克x元，则苹果的进价为每千克1.2x元，根据(售价-进价)×数量=利润结合获利1800元列出方程，求解即可；
（2）由题意可得水蜜桃的总售价为17×8a+(16-0.1a)×(300-8a-20)，总的进价为300×5，然后根据售价-进价=利润结合利润为2980元列出方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由如下：
∵2100=25×84，2＋8＝10，5＋4＝9，
∴2100是“十全九美数”；
∵168＝14×12，1＋1≠10，
∴168不是“十全九美数”；
（2）解：设A的十位数字为m，个位数字为n，则A=10m+n，
∵M是“十全九美数”， M=A×B，
∴B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，则B=10(10-m)+9-n=109-10m-n，
由题知：S（M）=m-n+10-m+9-n=19-2n，
T（M）=m+n- =2m-1，
根据题意令 (k为整数)，
由题意知：1≤m≤9，0≤n≤9，且都为整数，
∴1≤19-2n≤19，1≤2m-1≤17，
当k=1时， =5，
∴ 或 或 ，
解得 或 (舍去)或 ；
当k=2时， =10，
∴ ，解得 (舍去)，
当k=3时， =15，
∴ ，解得 ，
∴A=10m+n=17，B=109-10m-n=92；
或A=10m+n=22，B=109-10m-n=87；
或A=10m+n=12，B=109-10m-n=97；
∵M=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164，
综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）2100=25×84，168＝14×12，然后结合“十全九美数”的概念进行判断；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，A=10m+n，B=109-10m-n，表示出S(M)，T(M)，令 (k为整数)，结合m、n的范围可得19-2n、2m-1的范围，分别令k=1、k=2、k=3，求出m、n的值，得到A、B，进而可得M.
24．【答案】（1）解：把 ， 两点代入抛物线 得，
∴
∴
（2）解：如图，分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，那么
EQ FP
∴ =
因为点P是抛物线上的动点且点P在第一象限，所以设点P的坐标为（m， ），（m＞0， ＞0）
在抛物线 上当x=0时，y=4，所以点C（0，4）
设直线BC为y=kx+4，把点 代入得：
4k+4=0
解得：k=-1
∴直线BC为y=-x+4
设直线OP为y=k’x，把点P代入得：
mk’=
解得：k’=
∴直线OP为y=（ ）x
联立直线BC和直线OP得，
解得：
∴点Q坐标为（ ， ）
∴OE= ，OF=m，
∴EF=OF-OE=m-
∴ = = =
∵
∴当m=2时， 有最大值
∴点P的坐标为（2，4）
（3）解：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）；
解法一：∵OA=2，OC=4，线段AC= = = ，而
∴把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位，即是把抛物线y= 向右平移1个单位，再向上平移2个单位.所以新抛物线为 =
如图抛物线 = 的对称轴为x=2，
∵点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t， ）则，
设直线BC为y=kx+4，把点C(0，4)代入得，
k=-1
∴直线BC为y=-x+4
∵点M、N、B、C连成的四边形是平行四边形
∴分情况讨论：
①当BC=MN，BC∥MN时，四边形MNBC是平行四边形
设直线MN为y=-x+d，把点N（2，n）点M（t， ）代入得，
＝-t+d
解得：d=-0.5t2+3t+4.5
∴直线MN为y=-x-0.5t2+3t+4.5
∴点N的坐标为（2，-0.5t2+3t+2.5）
∵BC= ＝ ，MN＝ ，
∴ =
化简得：t2-4t-12=0
解得：t1=-2；t2=6
把t的值代入点N的坐标（2，-0.5t2+3t+2.5）
∴点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）
解法二：∵OA=2，OC=4，线段AC= = = ，而
∴把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位，即是把抛物线y= 向右平移1个单位，再向上平移2个单位.所以新抛物线为 = 即
如图抛物线 的对称轴为x=2，
由题意知点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t， ）
以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形的条件是这个四边形的对角线相互平分，则根据中点坐标公式分情况讨论：
①当BC为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-2.5）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：(3)解法一：②当BC为平行四边形NBMC的对角线时，设直线BC：y=-x+4与直线x=2的交点为R，则R的坐标为（2，2），
把x=2代入
解得：
∴点M的坐标（2，6.5）
∴MR=6.5-2=4.5
∵MR=RN
∴RN=4.5
∴点N的坐标为（2，-2.5）
综合①②可得：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）
解法二：②当BN为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，2.5）
③当BM为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-5.5）
【分析】（1）将A （-2，0）、B（4，0）代入可求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，则EQ∥FP，根据平行线分线段成比例的性质可得 = ，设P（m，m2+m+4），易得C（0，4），求出直线BC、OP的解析式，联立可得x、y，表示出点Q的坐标，得到OE、OF、EF，然后根据 = 结合二次函数的性质进行解答；
（3）利用两点间距离公式求出AC，表示出平移后的抛物线的解析式，设N（2，n），M（t， (t-2)2+ ），求出直线BC的解析式，①当BC=MN，BC∥MN时，四边形MNBC是平行四边形，求出直线MN的解析式，得到点N的坐标，表示出BC、MN，然后根据BC=MN可求出t的值，得到点N的坐标；②当BC为平行四边形NBMC的对角线时，求出直线BC与x=2的交点R的坐标，将x=2代入平移后的抛物线解析式中求出y′，可得点M的坐标，然后求出MR，根据MR=RN可得RN，进而可得点N的坐标；③当BN、BM为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得t、n的值，进而可得点N的坐标.
25．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵F为CE中点，
∴
（2）证明：过点E作 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形BDGE中，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（3）解：∴当CF最大时，点B到直线EH的距离为
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(3)在 中， ，
当C、D、E三点共线时，且F为CE中点，
此时 ，CF取得最大值，
由（1）可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，
如图所示：过点F作 ，过点H作 的延长线于点M，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点F、H关于BD对称，且 ， ，
∴ ，
设点B到EH的距离为h，
则 ，
可得 ，
解得： ，
∴当CF最大时，点B到直线EH的距离为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠ADC=45°，∠BDE=∠BED=45°，则∠CDE=90°，推出△CDE为直角三角形，利用勾股定理求出CD、DE、CE，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行计算；
（2）过点E作EH∥AC，由平行线的性质可得∠ACF=∠FEH，证明△ACF≌△HEF，得到AC=EH，∠EHF=∠CAD=∠DBE，根据等腰三角形的性质可得∠EHG=∠EGH，进而推出∠BEG=∠BDA，证明△ADB≌△GEB，得到BA=BG，∠BAD=∠BGE，推出∠BAD=∠BGD，然后根据∠AGE=∠AGB+∠BGE进行证明；
（3）根据两点之间，线段最短的性质可知：当C、D、E三点共线时，且F为CE中点时，CF=CD+DF=CE，CF取得最大值，易得CF、DF、DH的值，利用勾股定理求出EH，过点F作FG⊥BE，过点H作 HM⊥EG的延长线于点M，易证△EFG∽△EDB，根据相似三角形的性质求出FG，设点B到EH的距离为h，根据三角形的面积公式可得h，据此解答.
1 / 1重庆市第一中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·重庆开学考）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
选项B中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
选项C中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2022九下·重庆开学考）下列函数中，自变量x的取值范围是 的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A. 中x≥1，此选项不符合题意；
B. 中x＞1，此选项符合题意；
C. 中x≥ ，此选项不符合题意；
D. 中x≥2，此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，求出x的范围，据此判断A，同理判断C、D；根据二次根式以及分式有意义的条件可得x-1>0，求出x的范围，据此判断B.
3．（2022九下·重庆开学考）麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约0.00000015米.0.00000015米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000015
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2022九下·重庆开学考）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： 属于因式分解，故A符合题意；
B选项运算错误且属于因式分解；故B不符合题意；
属于整式的乘法运算，故C不符合题意；
不属于因式分解，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
5．（2019八上·萧山月考）已知点M(a，2)，B(3，b)关于y轴对称，则a＋b＝（　　）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M(a，2)，B(3，b)关于y轴对称，
∴a=-3，b=2，
∴a+b=-3+2=-1.
故答案为：B.
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可求出a，b的值，然后代入a+b求值即可。
6．（2022九下·重庆开学考）估计 的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=，根据估算无理数大小的方法估算出的范围，据此解答.
7．（2022九下·重庆开学考）如图所示，在直角坐标系中， ， ，△ABC为等腰直角三角形，以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作 ，则 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；位似变换；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： 以 为位似中心，把 按相似比 放大，放大后的图形记作△ ，
，
点 是线段 的中点，
， ，
由勾股定理得： ，
，
根据相似知： 为等腰直角三角形，
，
A、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
B、当 时，由勾股定理得： ，选项正确，符合题意；
C、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
D、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得AB=AB′，根据点A、B的坐标可得AB，进而得到AB′，易知△AB′C′为等腰直角三角形，结合勾股定理求出AC′，据此判断.
8．（2022九下·重庆开学考）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的内切圆圆心到三角形三个顶点的距离相等
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等；故A不符合题意；
对角线相等且平分的四边形是矩形；故B不符合题意；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故C不符合题意；
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】三角形的内切圆圆心到三角形三边的距离相等，据此判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
9．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P.BC＝6，则B到CP的距离为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作直径 连接 过 作 于
而
为 的切线，
即B到CP的距离为
故答案为：C.
【分析】作直径CC′ ，连接BC′，过B作BH⊥PC于H，根据三角函数的概念可得sin∠C′的值，根据同角的余角相等可得∠C′=∠BCP，然后根据三角函数的概念计算即可.
10．（2022九下·重庆开学考）放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培.停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（bA． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、根据先行驶及后返回复印的速度相同可判断，选项不正确，不符合题意；B、根据停下来聊天，距离不变，可判断选项不正确，不符合题意；
C、根据 ，即返回的距离小于前进的距离，即可判断选项不正确，不符合题意；
D、图象满足行走 休息 返回途中 加速行走的变化过程，选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据先行驶及后返回复印的速度相同可判断A；根据停下来聊天，距离不变，可判断B；根据b11．（2022九下·重庆开学考）如果关于x的分式方程 的解为整数，且关于y的不等式组 有解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．4
【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
关于x的分式方程 的解为整数，
则
或
解得： 或 或 或
又 则 即
所以 或 或
由①得：
由②得：
关于y的不等式组 有解，
综上： 或
符合条件的所有整数a的和为
故答案为：A.
【分析】求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数可得a的值；求出不等式的解集，根据不等式组有解可得a的范围，进而可得符合条件的a的值，然后求和即可.
12．（2022九下·重庆开学考）将数按以下规律排列：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11……，以此类推，四个同学分别得出一个结论：
杨一：第99个数是99；
张三：第2022个数是2；
李四：前101个数的和为2652；
王五，前200个数中有7个完全平方数；
四个结论正确的有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据数列可知：
第99个数是99，故杨一得出的结论正确；
第2022个数是2，故张三得出的结论正确；
前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13， ，2，101，其中，1，3，5，7，9， ，99，101，共51个数，2有50个
所以，前101个数的和为：
=
=
=
=2701，
故李四得出的结论不正确；
前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，共7个数，故王五得出的结论正确，
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据数列可知：第99个数是99，第2022个数是2，前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13， ，2，101，求出前101个数的和；前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，据此判断.
二、填空题
13．（2022九下·重庆开学考）计算： 　 　.
【答案】6
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：
=
=6
故答案为：6.
【分析】根据负整数指数幂的运算性质以及算术平方根的概念可得原式=3+3，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．（2022九下·重庆开学考）现有3张分别标有数字：－1、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点C的横坐标a，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点C的纵坐标b，则点C落坐标轴上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意可得如下表格：
　 -1 0 2
-1 / （0，-1） （2，-1）
0 （-1，0） / （2，0）
2 （-1，2） （0，2） /
∵一共有6种可能，而点C落在坐标轴上的情况有4种，
∴点C落坐标轴上的概率为 ；
故答案为： .
【分析】列出表格，找出总情况数以及点C落在坐标轴上的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，以AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】 －3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝12，BC＝6，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2
∴AB2 =AC2－BC2=108
∴AB= =6
∵BC= AC
∴∠A=30°
∴ ∠C=90°－∠A=60°
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是直角三角形
∴∠MBD=90°－∠A=60°
∵M是AB的中点
∴MD=MB= AB=3
∴△MBD是等边三角形
∴ BD=MD=MB=3
∴S扇形BMD －S△MBD
= MB MD×sin60°
= －
∵∠C=60°，OC=OD=3
∴△COD是等边三角形
∴∠COD=60°
∴∠BOD=180°－∠COD=120°
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
S△BOD= S△BDC－ S△ODC
= BD DC－ OD OCsin∠DOC
= －
=
∴S扇形BOD －S△OBD
=
=3 －
∴阴影部分的面积S
= S半圆BOC－（S扇形BMD －S△MBD）－（S扇形BOD －S△OBD）
= × － ( － )－(3 － )
=9 －3
故答案为：9 －3 .
【分析】分别取AB、BC的中点M、O，连接MD、BD、OD，根据勾股定理可得AB，易得△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得MD=MB=AB=3，推出△MBD、△COD是等边三角形，求出S扇形BMD、S△MBD，根据S△BOD=S△BDC-S△ODC求出S△BOD，然后根据S阴影=
=S半圆BOC-(S扇形BMD-S△MBD)－(S扇形BOD-S△OBD)进行计算.
16．（2022九下·重庆开学考）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋　 　元.
【答案】50
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋 元， 元， 元， 元，
则
由①②得：
由②③得：
则
把 代入①可得：
都为正整数，且
当 时，
则
或
当 时， 不合题意，舍去，
当 时， 符合题意，
此时 ，
所以：腊排骨每袋50元.
故答案为：50.
【分析】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋a元，b元，c元，d元，根据“ 甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元 ”可得关于a、b、c、d的方程组，化简可得d=a-10，b=83-a，根据a、b、c、d均为正整数结合a>b≥30可得a、b的值，进而得到c的值.
三、解答题
17．（2022九下·重庆开学考）计算：
（1）用公式法解一元二次方程：
（2）化简：
【答案】（1）解：
则
即
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算；
（2）首先对括号外分式的分子进行分解，对括号内的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
18．（2022九下·重庆开学考）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC中点，F为BC上一点， 于E.
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于G.（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
（2）填空：
求证：AG＝CF
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝ °
∵AG平分∠BAC
∴ （ ）（填推理依据）
∴∠BAG＝∠C
∵
∴∠AEB＝90°＝∠
∴∠1＋∠BAE＝90°，∠2＋∠BAE＝90°
∴∠1＝∠2
∴△ACF≌ .
∴AG＝CF
【答案】（1）解：如图
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵AG平分∠BAC
∴∠BAG= ∠BAC=45°（角平分线定义）（填推理依据）
∴∠BAG＝∠C ∵AF⊥BD
∴∠AEB＝90°＝∠BAD
∴∠1＋∠BAE＝90°，∠2＋∠BAE＝90°
∴∠1＝∠2
∴△ACF≌△BAG ∴AG＝CF
故答案为：45°；角平分线定义；∠BAD；△BAG.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，交点为 ，连接 ， 即为 的角平分线， 与 交点即为点 ；
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC长为半径画弧，交点为M，连接AM，AM即为∠BAC的角平分线，AM与BD的交点即为点G；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝45°，根据角平分线的概念可得∠BAG= ∠BAC=45°，则∠BAG＝∠C ，根据同角的余角相等可得∠1＝∠2 ，证明△ACF≌△BAG，据此可得结论.
19．（2021九上·重庆月考）近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会.为了宣传近视防控知识.某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： ， ， ， ， .并给出了部分信息：
（一）八年级D等级的学生人数占八年级抽取人数的20％，
九年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75.
（二）两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：
（三）两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
　 平均数 中位数 众数
八年级 76 75 73
九年级 76 a 72
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1700人，请估计该校八、九年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数.
【答案】（1）解：a＝74，m＝16；补全条形统计图如图：
（2）解：八年级年级的学生对近视防控知识掌握较好.理由如下：
虽然八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数比八年级的高，因此八年级的成绩较好；
（3）解：1800× ＋1700×2×16%
＝792＋544
＝1336（人）.
答：估计该校八、九年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）∵九年级D、E组的人数之和=50×（32%+4%）=18（人），
又∵九年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75，
∴a＝（74＋74）÷2＝74，
∵（1 32% 32% 4%）÷2＝16%，
∴m＝16，
八年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50 10 12 16 10＝2（人），
补全条形统计图如图：
答：a＝74，m＝16；
【分析】（1）将九年级抽取的50名同学的成绩从低到高排列后，位于第25与26两个成绩的平均数就是中位数a值；利用扇形统计图中各部分百分比之和等于1，即可求m的值；分别求出D、E等级的人数，然后补图即可；
（2）从平均数、中位数、众数这三方面进行分析即可；
（3）利用样本中八、九年级分数不低于80分的人数所占的百分比分别乘以各年级人数，再相加即得结论.
20．（2022九下·重庆开学考）如图，一次函数 （ ）的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形ABCD，边 轴于点E，若点A坐标为 ，BE＝8， .
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
【答案】（1）解： BE＝8， ，边 轴，
所以反比例函数为：
解得：
所以一次函数的解析式为：
（2）解：
四边形 为菱形，
而边 轴，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）易得B（8，），代入y=中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式，将y=6代入求出m的值，可得点A的坐标，然后将点A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b，进而可得一次函数的解析式；
（2）根据两点间距离公式可得AB，由菱形的性质可得AD=AB，AD∥BC，据此不难求出点D的坐标.
21．（2022九下·重庆开学考）某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，则称受台风影响.
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据： ， ）
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级
（2）求该城市O到A处的距离.
【答案】（1）解：如图，作
由题意知 千米
千米
∵
∴
∴
∵
∴当台风中心位于 点时，城市受到台风影响最大，最大风力为5级
（2）解：由题意知
千米
∴城市O到A处的距离为238千米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）作OE⊥AB，由题意知CD=10×20=200千米，OC=OD=200千米，推出△OCD为等边三角形，得到∠OCD=60°，利用三角函数的概念求出OE，据此解答；
（2）由题意知∠OAC=45°，∠AOE=45°，AE=OE，则AO=AE，据此计算.
22．（2022九下·重庆开学考）春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部停出，水果店获利1800元.
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值.
【答案】（1）解：设水蜜桃的进价为每千克x元，则苹果的进价为每千克1.2x元，
由题意列方程为： ，
解得：x=5，
∴水蜜桃的进价为每千克5元
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
解得：a=25或a=0（不符合题意，舍去）
∴a的值为25
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价为每千克x元，则苹果的进价为每千克1.2x元，根据(售价-进价)×数量=利润结合获利1800元列出方程，求解即可；
（2）由题意可得水蜜桃的总售价为17×8a+(16-0.1a)×(300-8a-20)，总的进价为300×5，然后根据售价-进价=利润结合利润为2980元列出方程，求解即可.
23．（2022九下·重庆开学考）如果一个自然数M能分解成A×B，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”，例如：
∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美数”；
∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美数”.
（1）判断2100和168是否是“十全九美数” 并说明理由；
（2）若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为 ：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为 .当 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M.
【答案】（1）解：2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由如下：
∵2100=25×84，2＋8＝10，5＋4＝9，
∴2100是“十全九美数”；
∵168＝14×12，1＋1≠10，
∴168不是“十全九美数”；
（2）解：设A的十位数字为m，个位数字为n，则A=10m+n，
∵M是“十全九美数”， M=A×B，
∴B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，则B=10(10-m)+9-n=109-10m-n，
由题知：S（M）=m-n+10-m+9-n=19-2n，
T（M）=m+n- =2m-1，
根据题意令 (k为整数)，
由题意知：1≤m≤9，0≤n≤9，且都为整数，
∴1≤19-2n≤19，1≤2m-1≤17，
当k=1时， =5，
∴ 或 或 ，
解得 或 (舍去)或 ；
当k=2时， =10，
∴ ，解得 (舍去)，
当k=3时， =15，
∴ ，解得 ，
∴A=10m+n=17，B=109-10m-n=92；
或A=10m+n=22，B=109-10m-n=87；
或A=10m+n=12，B=109-10m-n=97；
∵M=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164，
综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）2100=25×84，168＝14×12，然后结合“十全九美数”的概念进行判断；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，A=10m+n，B=109-10m-n，表示出S(M)，T(M)，令 (k为整数)，结合m、n的范围可得19-2n、2m-1的范围，分别令k=1、k=2、k=3，求出m、n的值，得到A、B，进而可得M.
24．（2022九下·重庆开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
（3）把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来.
【答案】（1）解：把 ， 两点代入抛物线 得，
∴
∴
（2）解：如图，分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，那么
EQ FP
∴ =
因为点P是抛物线上的动点且点P在第一象限，所以设点P的坐标为（m， ），（m＞0， ＞0）
在抛物线 上当x=0时，y=4，所以点C（0，4）
设直线BC为y=kx+4，把点 代入得：
4k+4=0
解得：k=-1
∴直线BC为y=-x+4
设直线OP为y=k’x，把点P代入得：
mk’=
解得：k’=
∴直线OP为y=（ ）x
联立直线BC和直线OP得，
解得：
∴点Q坐标为（ ， ）
∴OE= ，OF=m，
∴EF=OF-OE=m-
∴ = = =
∵
∴当m=2时， 有最大值
∴点P的坐标为（2，4）
（3）解：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）；
解法一：∵OA=2，OC=4，线段AC= = = ，而
∴把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位，即是把抛物线y= 向右平移1个单位，再向上平移2个单位.所以新抛物线为 =
如图抛物线 = 的对称轴为x=2，
∵点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t， ）则，
设直线BC为y=kx+4，把点C(0，4)代入得，
k=-1
∴直线BC为y=-x+4
∵点M、N、B、C连成的四边形是平行四边形
∴分情况讨论：
①当BC=MN，BC∥MN时，四边形MNBC是平行四边形
设直线MN为y=-x+d，把点N（2，n）点M（t， ）代入得，
＝-t+d
解得：d=-0.5t2+3t+4.5
∴直线MN为y=-x-0.5t2+3t+4.5
∴点N的坐标为（2，-0.5t2+3t+2.5）
∵BC= ＝ ，MN＝ ，
∴ =
化简得：t2-4t-12=0
解得：t1=-2；t2=6
把t的值代入点N的坐标（2，-0.5t2+3t+2.5）
∴点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）
解法二：∵OA=2，OC=4，线段AC= = = ，而
∴把抛物线 沿射线AC方向平移 个单位，即是把抛物线y= 向右平移1个单位，再向上平移2个单位.所以新抛物线为 = 即
如图抛物线 的对称轴为x=2，
由题意知点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t， ）
以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形的条件是这个四边形的对角线相互平分，则根据中点坐标公式分情况讨论：
①当BC为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-2.5）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：(3)解法一：②当BC为平行四边形NBMC的对角线时，设直线BC：y=-x+4与直线x=2的交点为R，则R的坐标为（2，2），
把x=2代入
解得：
∴点M的坐标（2，6.5）
∴MR=6.5-2=4.5
∵MR=RN
∴RN=4.5
∴点N的坐标为（2，-2.5）
综合①②可得：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）
解法二：②当BN为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，2.5）
③当BM为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-5.5）
【分析】（1）将A （-2，0）、B（4，0）代入可求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，则EQ∥FP，根据平行线分线段成比例的性质可得 = ，设P（m，m2+m+4），易得C（0，4），求出直线BC、OP的解析式，联立可得x、y，表示出点Q的坐标，得到OE、OF、EF，然后根据 = 结合二次函数的性质进行解答；
（3）利用两点间距离公式求出AC，表示出平移后的抛物线的解析式，设N（2，n），M（t， (t-2)2+ ），求出直线BC的解析式，①当BC=MN，BC∥MN时，四边形MNBC是平行四边形，求出直线MN的解析式，得到点N的坐标，表示出BC、MN，然后根据BC=MN可求出t的值，得到点N的坐标；②当BC为平行四边形NBMC的对角线时，求出直线BC与x=2的交点R的坐标，将x=2代入平移后的抛物线解析式中求出y′，可得点M的坐标，然后求出MR，根据MR=RN可得RN，进而可得点N的坐标；③当BN、BM为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得t、n的值，进而可得点N的坐标.
25．（2022九下·重庆开学考）如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点F为CE的中点.
（1）如图1，A，D、B在同一直线上，∠CAD＝∠DBE＝90°，AC＝AD＝1，BD＝BE＝2，求DF的长度；
（2）如图2，A、D、F在同一直线上，G为AF延长线上一点（AF（3）如图3，在（1）问的条件下，将△ADC绕着点D逆时针旋转，连接BF，将△BDF沿着BD翻折得△BDH，连接EH，当CF最大时，直接写出此时点B到直线EH的距离.
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵F为CE中点，
∴
（2）证明：过点E作 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形BDGE中，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（3）解：∴当CF最大时，点B到直线EH的距离为
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(3)在 中， ，
当C、D、E三点共线时，且F为CE中点，
此时 ，CF取得最大值，
由（1）可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，
如图所示：过点F作 ，过点H作 的延长线于点M，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点F、H关于BD对称，且 ， ，
∴ ，
设点B到EH的距离为h，
则 ，
可得 ，
解得： ，
∴当CF最大时，点B到直线EH的距离为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠ADC=45°，∠BDE=∠BED=45°，则∠CDE=90°，推出△CDE为直角三角形，利用勾股定理求出CD、DE、CE，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行计算；
（2）过点E作EH∥AC，由平行线的性质可得∠ACF=∠FEH，证明△ACF≌△HEF，得到AC=EH，∠EHF=∠CAD=∠DBE，根据等腰三角形的性质可得∠EHG=∠EGH，进而推出∠BEG=∠BDA，证明△ADB≌△GEB，得到BA=BG，∠BAD=∠BGE，推出∠BAD=∠BGD，然后根据∠AGE=∠AGB+∠BGE进行证明；
（3）根据两点之间，线段最短的性质可知：当C、D、E三点共线时，且F为CE中点时，CF=CD+DF=CE，CF取得最大值，易得CF、DF、DH的值，利用勾股定理求出EH，过点F作FG⊥BE，过点H作 HM⊥EG的延长线于点M，易证△EFG∽△EDB，根据相似三角形的性质求出FG，设点B到EH的距离为h，根据三角形的面积公式可得h，据此解答.
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