北师大版八下数学第一章三角形的证明 压轴题选编（word版、含解析）

三角形的证明压轴题选编
1．（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
2．（2019八上·南开期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
3．问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.
（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；
（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
5．（2021八上·灌云月考）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E.
（1）当∠BDA=120°时，∠EDC　 　；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　(填“大”或“小”)；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由.
6．（2021八上·温州月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）DF＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值.）
7．（2021七下·新都期末）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积.
8．（2020八上·章贡期末）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°
（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
9．（）如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上的一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长．
（2）试说明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
10．（2020八上·农安期末）完成下面问题：
（1）问题发现：如图， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ，填空：① 的度数为　 　；②线段 ， 之间的数量关系为　 　；
（2）拓展探究：如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
11．（2021·孝感模拟）在 中， ， 于点 ， 为 上一点（不与 ， 重合），
（1）如图1，若 ，求证： 平分 ；
（2）如图2，若 ，过点 作 于点 ，交 于 .
①求证： ；
②当 时， 与 的数量关系是▲.
12．（2020八上·沭阳期中）如图①， 和 是等腰三角形，且 ， ， ， ，以 为顶点作一个 角，角的两边分别交边 ， 于点 、 ，连接 .
（1）探究 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）若点 、 分别在 、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则 、 、 之间存在什么样的关系？并说明理由.
13．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
14．（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
15．（2021八上·莒南期中）如图，点 是等边 内的一点， ．以 为边作等边 ，使 和 在直线 的同侧，连接 ．
（1） 与 全等吗 说明你的理由；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）当 为多少度时， 是等腰三角形 请直接写出答案．
16．（2021八上·江汉期中）如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
17．（2021·太原模拟）综合与实践
问题背景：数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在 中， ，D为 边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作 于点E．连接 ，M为 的中点，连接 ， ．
（1）观察发现：如图1， 与 之间的数量关系是　 　；
（2）思考分享：如图2，将 绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长 至点 ，使得 ，连接 运用三角形中位线定理，…．按照他的思路或采用其他方法证明；
（3）探究计算：若 ， ， ，在 绕点B旋转一周的过程中，当直线 经过点A时，线段 的长为　 　．
18．（2020八上·滨海期末）在 中， ， ， 平分 交 于点E， 交 延长线于点D，连接 ，过点C作 交 于F．
（1）如图①，①求 的度数；
②求证： ；
（2）如图②， 交 的延长线于点M，探究 之间的数量关系，并给出证明．
19．（2020八上·重庆月考）已知，在等边△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 边上的点，BE=CD，连接 AE、BD 相交于点 F.
（1）如图 1，求∠AFD的度数；
（2）如图 2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF=HF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2， AF＝10，求DM长.
20．（2020八下·成都期中）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．
（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．
21．（2019八上·南平期中）在 中， ，点 为射线 上一个动点（不与 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，过点 作 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）如图①，若 ，则按边分类： 是　 　三角形，并证明；
（2）若 ．
①如图②，当点 在线段 上移动时，判断 的形状并证明；
②当点 在线段 的延长线上移动时， 是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．
22．（2019八上·江山期中）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD=4，AD=6，CD=8．
（1）求证：∠ACB=∠ABC；
（2）如图2，E为AC的中点，连结DE．动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时另一个点也停止运动．设点M运动的时间为t（秒），
①若MN与BC平行，求t的值；
②问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
23．（2019七下·西安期末）如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，
①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；
②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.
24．如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
25．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上.
（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长　 　.
（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝ DC？请求出点C的坐标；
（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值.
26．（1）【问题探究】如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,连接CD、BE，是猜想CD、BE的大小关系　 　；（不必证明）
（2）【深入探究】如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；　 　
（3）【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
答案与解析
1．【答案】（1）证明：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF
②EF=FD+AD
延长AD使DP=AD，连接CP
∵AD=DP，∠ADC=∠PDC，CD=CD
∴△ADC≌△PDC（SAS）
∴AC=CP=CE，∠ACD=∠PCD
∵∠ACF=∠AEF，且∠AMC=∠FME
∴∠EFC=∠EAC=60°
∵BF=CF，且∠EFC=60°
∴∠FCD=30°
∵∠FCA=∠FCD-∠ACD
∴∠FCA=30°-∠ACD
∵∠ECF=∠ECA-∠FCA
∴∠ECF=30°+∠ACD
∵∠FCP=∠FCD+∠DCP
∴∠FCP=30°+∠ACD
∴∠ECF=∠FCP，且FC=FC，CP=CE
∴△ECF≌△FCP（SAS）
∴EF=FP
∴EF=FD+AD
（2）解：连接CF，延长AD使FD=DP，连接CP．
∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF且∠AME=∠CMF
∴∠EAC=∠EFC=60°
∵BF=CF，∠EFC=60°
∴∠FCB=30°
∵FD=DP，∠FDC=∠PDC，CD=CD
∴△FDC≌△PDC（SAS）
∴FC=CP，∠FCD=∠PCD=30°
∴∠FCP=60°=∠ACE
∴∠ACP=∠FCE且CF=CP，AC=CE
∴△ACP≌△ECF（SAS）
∴EF=AP
∴EF=AD+DP=AD+DF.
2．【答案】（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2.
（2）证明：连接OD，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵ ，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH= AB，
∵BO= AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，
，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．
3．【答案】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；归纳证明：证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：解：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBA．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
4．【答案】（1）解：∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）解：∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 秒，
∴vQ= cm/秒；
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得x= ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
∴80=56+24=2×28+24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
5．【答案】（1）10；小
（2）解：当DC=4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=50°，
∴∠DEC+∠EDC=130°，
又∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=4，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC=4时，△ABD≌△DCE.
（3）可以，100°或115°
【解析】【解答】解：∵在△BAD中，∠B=∠C=∠50°，∠BDA=120°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-50°-120°=10°；
∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-120°-50°=10°.
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：10，小；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=100°时，
∴∠ADC=80°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=50°，
∴∠DAC=∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC=65°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=65°，
∵∠ADE=50°，
∴∠AED=65°，
∴∠DAC=∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形.
6．【答案】（1）t
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE.
在△AED和△FDE中， ，
∴△AED≌△FDE（SAS）.
（3）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形.
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE.
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形.
（4）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形.
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝ ；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4.
综上所述：当t为 或4时，△DEF为直角三角形.
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝ CD＝t.
故答案为：t.
7．【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：如图2中，设AE交CD于O.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180° ∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE ∠ACB＝60°，
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60° α，
∴∠DEC＝180° ∠EDC ∠ECD＝180° （60° α） 60°＝60°＋α
（3）解：如图3中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90° 60°＝30°，
∴∠BAD＝180° ∠B ∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝ S△ACD＝2.
8．【答案】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝63°，
∴∠EAB＝54°，
∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，
∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝36°；
（2）解：EF＝2AD；理由如下：
延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中， ，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△ABH和△EAF中， ，
∴△ABH≌△EAF（SAS），
∴EF＝AH＝2AD；
（3）解： ；理由如下：
由（2）得，AD＝ EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△ABH≌△EAF，
∴∠AEG＝∠BAD，
在△EAG和△ABD中， ，
∴△EAG≌△ABD（SAS），
∴∠EAG＝∠ABC＝70°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，
即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，
∴∠BAC+ ∠CAF＝55°，
∴∠BAC＝55°﹣ ∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，
∴55°﹣ ∠CAF＝110°﹣∠ACB，
∴∠ACB﹣ ∠CAF＝55°．
9．【答案】（1）解：设AP=x，则BQ=x．
∵∠BQD=30°，∠C= 60°，
∴∠QPC= 90°，
∴QC=2PC，即x+6=2(6- x)
解得x=2，
即AP=2．
（2）解： 如图，过点P作PF∥BC，交AB于点F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A= 60°，
∴PF=AP=AF，所以PF= BQ．
又∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF(AAS)，
∴DQ= DP，
∴在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）解：在运动过程中，线段ED的长不发生变化．
∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF= AF．
又△DQB≌△DPF，
∴DF=DB，即DF= BF，
∴ED= EF+ DF= (AF+ BF)= AB=3．
10．【答案】（1）；
（2）解： ， ．
理由：∵ 和 均为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵点 ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC= ， ， ，
∴ ，
∴ .
在 和 中，
∴ ，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC= ，
∴∠EAB+∠ABC+∠CBE= ，即∠EAB+∠ABE= ，
∴∠AEB= （∠EAB+∠ABE）= ，
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
11．【答案】（1）证明：∵ ， 于点
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 平分 ；
（2）解：①∵ ，且 ， ∴ 为等腰直角三角形 ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ，即 在 和 中， ∵∴∴
【解析】【解答】解：（2）②根据（2）①的结论：
∴
∵
∴
∴
故答案为： .
12．【答案】（1）解： 和 是等腰三角形，
延长AB至G，使得BG=CF，连接DG
在 和 中，
BG=CF，
，
在 和 中，
DE=DE，
，
（2）解：在CA上截取CG=BE,连接DG
是等腰三角形，
在 和 中，
CG=BE，
在 和 中，
FD=FD，
13．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
14．【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
15．【答案】（1） 和 都是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）由（1）已证： ，
，
是等边三角形，
，
，
又 ，
，
是直角三角形；
（3）由（2）可知， ，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
③当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
综上，当 为 或 或 时， 是等腰三角形．
16．【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【解析】【解答】解：（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
17．【答案】（1）
（2）解：（2）如图，
延长 到点 ，使得 ，延长 到点 ，使得 ，分别连接 、 、 和 ，
∵ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， 分别是 和 的中位线，
∴ ， ，
∴ ；
（3） 或
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，M为 的中点，
∴ ，
∴EM=CM；
故答案为： ；
（3）如图1，当直线DE过点A且在AB左侧时，
∵∠DBE=∠ABC=30°，AC=4，DE=2，
∴AB=2AC=8，BD=2DE=4，
∴BE= ，
在Rt△ABE中，AE= ，
∴AD= ；
如图2，当直线DE过点A且在AB右侧时，
∵∠DBE=∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，BD=2DE=4，BE= ，
∴AE= ，
∴AD= ．
故答案为： 或 ．
18．【答案】（1）解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴∠EBD=∠CAE=
②如图所示，
∵CF⊥CD
∴∠FCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCD+∠FCE，
即∠ACF=∠BCD，
由①得∠EBD=∠CAE=
在△ACF和△BCD中 ，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
（2）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
由△ACF≌△BCD 得CF=CD
又∵CF⊥CD
∴∠CFD=45°
∵∠CAE
∴∠FCA=22.5°
∴AF=CF 由②得AF=BD
∴DC=DB
在Rt△CDM和Rt△BDH中 ，
∴Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），
∴CM=BH，
在Rt△ADM和Rt△ADH中 ，
∴Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），
∴AM=AH，
∴AB+AC=AH+BH+AC=AM+CM+AC=AM+AM=2AM
∴AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC=2AM
19．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE=∠CBD；
∴∠AFD=∠ABD+∠BAE=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°；
（2）证明：由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，AE=BD，
∴∠AFH=∠BAE+∠ABF=∠CBD+∠ABF=∠ABC=60°，
∵AH⊥BD，
∴∠FAH=30°，
∴HF= AF，
∵EF=HD，
∴AF=BH，
∴HF= BH，
∴BF=HF；
（3）解：由（2）得：BH=AF=10，HF= AF=5，BD=AE=AF+EF=12，
∵∠AMB=∠ABM，
∴AB=AM，
∵AH⊥BD，
∴MH=BH=10，
∴BM=2BH=20，
∴DM=BM-BD=20-12=8.
20．【答案】（1）证明：∵CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD，
在△CAE与△ABD中
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：连接AH
∵AB＝AC，BH＝CH，
∴∠BAH＝ ，∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，
∴∠EAH＝∠DBH，
在△AEH与△BDH中
∴△AEH≌△BDH（SAS），
∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，
∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°
即∠EHD＝90°，
∴∠EDH＝∠DEH＝ ；
（3）解：过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．
∵DG⊥FH，ER⊥FH，
∴∠DGH＝∠ERH＝90°，
∴∠HDG+∠DHG＝90°
∵∠DHE＝90°，
∴∠EHR+∠DHG＝90°，
∴∠HDG＝∠HER
在△DHG与△HER中
∴△DHG≌△HER （AAS），
∴HG＝ER，
∵ET∥BC，
∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，
∠ETF＝∠FHM，
∵∠EHB＝∠BHG，
∴∠HET＝∠ETF，
∴HE＝HT，
在△EFT与△MFH中
，
∴△EFT≌△MFH（AAS），
∴HF＝FT，
∴ ，
∴ER＝MS，
∴HG＝ER＝MS，
设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，
，
k＝ ，
∴FH＝5 ，
∴HE＝HT＝2HF＝10 ．
21．【答案】（1）等边
（2）①△CEF为等腰三角形，
证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠B，
∴∠ACE=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴CE=FE，
∴△EFC为等腰三角形；
②如图③，△EFC为等腰三角形．
当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．
证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECF=∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AFE=∠ECF，
∴EC=EF，
∴△EFC为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，
∴△DAB≌△EAC，
∴∠ECA=∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，
∴△EFC为等边三角形，
故答案为：等边；
22．【答案】（1）证明：∵AB=AD+BD=6+4=10，
AC=，
∴AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC.
（2）解：如图，
①由题意得BM=t，AN=t，则AM=10-t，
当MN∥BC时，AM=AN，
即10﹣t=t，
∴t=5
②当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t﹣4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t﹣4，过E作EH⊥AD，在△EHM中
则（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，
∴t= ；
综上所述，符合要求的t值为9或10或
23．【答案】（1）解：
①如图1，过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC= ∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，
∴△DMF≌△ENF(AAS)，
∴FE=FD；
②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因为∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.
（2）解：EF=FD仍然成立；
理由如下：
在AC上截取CG=CD，如图2所示，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD（SAS），,
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴FD=GF.
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴EF=FD.
24．【答案】（1）解：∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD= OC，同理：OE= OC，
∴OD+OE=OC
（2）解：(1)中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF= OC，OG= OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC
（3）解：(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF= OC，OG= OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，
OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣OD=OC
25．【答案】（1）6
（2）解：∵△ABD和△BCQ是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠DBQ，
在△CBA和△QBD中，
∴△CBA≌△QBD（SAS），
∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，
∴∠PDO＝60°，
∴PD＝2DO＝6，
∵PD＝ DC，
∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，
∴点C的坐标为（12，0）
（3）解：如图3，
以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F.
由（2）得，△AEP≌△ADB，
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OA＝3，
∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝ OF＝
则OP的最小值为 .
【解析】【解答】（1）解：作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，
∴DB＝DC，
在△OBD和△HCD中，
∴△OBD≌△HCD（ASA），
∴OB＝HC，
在△AOB和△FHC中，
∴△AOB≌△FHC（ASA），
∴CF=AB=6，
故答案为6
26．【答案】（1）CD=BE
（2）BC=CD+EC；BD2+CD2=2AD2理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中， ，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；
（3）解：作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，
∴DE= =6 ，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE= DE=6．
【解析】【解答】解：（1）∵△ADB与△AEC为等腰直角三角形
∴∠DAB=90 =∠EAC，
AD=AB ①
AE=AC ②
∴∠CAD=∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC=∠BAE ③
综合①②③，可证△ADC≌△ABE，
∴CD=BE