2022年高考数学尖子生强基校讲讲义 专题5：函数与方程【PDF版解析版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题5函数与方程
一、真题特点分析：
1.【2021年北大13】方程x2-2y+3y2-4x+5=0的整数解的组数为
2.【2020年清华29】已知函数f(x)=e+a(x-1)+b在区间[1,3]上存在零
点，则a2+b的最小值为()
A.
B.e
c.号
D.e2
3【2020武大2】已知方程2*-sinx=1,则下列判断：
(1)方程没有正数解；
(2)方程有数多个解；
(3)方程有一个正数解；
(4)方程的实根小于1.
其中错误的判断有
二、知识要点拓展
一.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有关公式
1.一元二次方程的根：x=b±VB-4ac
2a
2.根与系数的关系：x+x2=
,(韦达定理）
b
3.判别式：△=b2-4ac.
二，函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题
1.函数不等式的恒成立问题：
(1)不等式f(x)≥m在集合D上恒成立台在集合D上f(x)mn≥m.
(2)不等式f(x)≤n在集合D上恒成立台在集合D上f(x)x≤n.
2.函数不等式的能成立问题：
(1)在集合D上存在实数x使不等式f(x)≥m成立一在集合D上
f(x)mx≥m.
(2)在集合D上存在实数x使不等式f(x)≤n成立一在集合D上f(x)min≤n.
3.函数不等式的恰成立问题：
不等式在集合D上恰成立台该不等式的解集为D,
三.几个常见的函数方程
1.正比例函数f(x)=cx,具有性质：f(x+y)=f(x)+f(y),f(I)=c.
2.指数函数f(x)=a,具有性质：f(x+y)=f(x)f(y,f(I)=a≠0.
3.对数函数f(x)=log。x,具有性质：
f(y)=f(x)+f(y),f(@）=1(a>0,a≠1)
方程的根与函数的零点：
1.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)的零点.
2.方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与x轴有交点台函数y=f(x)
有零点
3.零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(@)·f(b)<0,那么在
开区间(a,b)内至少存在一点c,使f(c)=0。
~函数零点的理解：
(1)函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图像与x轴交点
的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是
函数y=f(x)的零点的个数，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的个数
(2)函数的零点不是点，而是函数函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，
即零点是一个实数。
(3)若函数f(x)在区间[a,b)上的图象是一条连续的曲线，则f(a)fb)<0是
f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。
二，高次方程韦达定理
①三次方程韦达定理
设三次方程ax+bx2+Cx+d=0的三个根为x,x2,太，那么