2022年高考数学尖子生强基校讲讲义专题7：定积分与微分【PDF版+解析】

2022年高考数学尖子生强基计划专题7定积分和微分
一、真题特点分析：
(复旦)(1)设f(x)=xlnx,求f'(x);
(A)设0b-a
(B)设(2)中的最小值为mb,证明mb二、知识要点拓展
一·定积分：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a=度依次为△x,=x-x.i=1,2)并作和S=∑ff)△x,记
元=max{△x,△x,…△x},如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间[x-x]
上点f怎样的取法，只要当入→0时，和S趋于确定的极限I，,我们称这个极限
I为函数f)在区间[a,b1上的定积分，记为jfwd=1=im2 fU)Ax。
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二，定积分存在定理：
①当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，则f(x)在区间[a,b上可积；
②设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上
可积。
三，定积分的几何意义：
f(x)>0时，
Jf(x)d=A,则A表示f()的图像与x=a,x=b及x轴围成
的曲边梯形面积：
若f(x)<0,令「f(x)dc=-A,则-A表示f(x)的图像与x=a,x=b及x轴
围成的曲边梯形面积的负值。
四，微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式
如果f(x)是区间[a,b)]上的连续函数，并且F'(x)=f(x),则
∫f(x)d=F(b)-F(a)。若记
Fb)-F(a=F(x)e,则∫f(x)d=F(x)比=F(b)-F(a)。
牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化
为求原函数问题。
五.洛必塔法则：设(1)如果当x→a时，函数f(x),g(x)都趋于零；(2)在U(a,δ)
内，f,g)都存在，且g)≠0：(3)极限1im四存在（或为无穷大）；
x→ag'(x)
f(x)
则1imf四存在，且1imf四=lim
x-a g(x)
Kag(x)x→ag'(x)
上述准则称为洛必塔法则。
六.二次曲线在某点处的切线方程：
①设P(x,)是圆x2+y2=R2上一点，则过P(x,y)的圆切线方程为
xox+yoy=R2;
②设P,)是精国+广=1上一点，则过点P)的椭圆切线方程为
Xox+yoy =1;
a2b2
@设)是双曲线三多1上一点，则过P6,》的双面线切线方程为
Xox_yoy=1;
④设P(x,%)是抛物线y2=2x上一点，则过P(x,%)的抛物线切线方程为
%y=p(x+x);
七，函数的单调性：若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内递增（递减）的充
要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)，x∈(a,b)。
八，函数的极值：
1.定义：
已知函数y=f(x)及其定义域内一点x,对于存在一个包含x,的
开区间内的所有点x,如果都有
f(x)f(x)
则称函数y=f()在点，处取得极大值，记作y概大值=f(x),并把x,称为函数
y=(x)的一个极大值点；如果都有
f(x)>f(x)
则称函数y=f()在点七处取得极小值，记作》微大值=f(x),并把称为函数
y=f(x)的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
注意：
(1).函数y=f(x)的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；
(2).极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整