2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题9：等差、等比数列及数列求和【PDF版+解析】

2022年高考数学尖子生强基计划专题9等差、等比数列与
数列求和
一、真题特点分析：
1.【2020复旦大学6】1im
1,1
++1。
n→+01×42×5
n(n+3)
2.【2021年清华】有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首
项的平方小于100，则该数列最多可有
项.
3.若数列{an}满足4？+4+a4-12×4%=0,求lim.
→+en
二、知识要点拓展
一·等差数列：
1.通项公式：an=a,+(n-1)d=dn+a-d(n∈N);
2.前n项和公式：S,=ma+a=m+mn-》d.
2
2
二.等比数列：
1.通项公式：an=ag-1=4.q”(eN:
a1-q")
2.前n项和公式：Sn=
,9≠1
或Sn=
a-a9,q≠1
1-9
1-9
na,q=1
na1,9=1
三.数列的通项公式与前n项的和的关系：a=
S,n=1
（Sn为数列{an}的
Sn-Sn1,n≥2
前n项的和为).
四.常见数列的前n项和公式：
1+2+3+…+n=nn+
2
1+3+5+7.…+(2n-1)=n2
2+4+6+8.…+2n=(n+1)
1P+22+32++m2=nm+0(2n+
6
1+2+323++㎡2=0m+
2
一，等差数列的主要判定方法：
①an-an=d(d为常数)；
②2an1-an+an+2（neN*）；
③a=k+b(k,b为常数)；
④Sn=An2+Bn（A,B为常数)。
二，等差数列的主要性质：
①a,=an+(-m)d或d=a-am(d是公差)：
n-m
②若m,n,k,I∈N$,且m+n=k+l,则am+an=ak+a。注意，反之不一定成立；
③数列{2an+b}（,b是常数)是公差为d的等差数列；
④下标成等差数列，且公差为m的项a,a+m,a42m,…组成的数列仍然为等差数列，
且公差为md。
三，等比数列的判定方法：
①an1=an9（q是不为0的常数)；
②an=cq”(c,q均为不为0的常数)；
③a2=anan2（且an,an1,an2均不为0)。
四.等比数列的性质：
①an=am·q-m(q为公比)；
②若m+n=p+q,则aman=ana,(m,n,p,q∈N*);
③每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。
五，数列求和方法：
1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式：S。=a+a=a,+mn-Dd
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