2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题8：数列的通项与递推【PDF版+解析】

2022年高考数学尖子生强基计划专题8数列的通项与递推
一、真题特点分析：
1.【2021年北大18】已知数列{a}满足a=2,a1=2.数列{b,}满足
=5,b1=5,若正整数m满足bn>as,则m的最小值为
2.【2020中科大4】若4=1,4=3,4，-2+01，则a,=
an-2
二、知识要点拓展
一，等差数列：
1.通项公式：an=a,+(n-1)d=dn+a-d(n∈N);
2.前n项和公式：，=a+a=a+m-Dd.
2
2
二.等比数列：
1.通项公式：a=a,g1=4g(n∈N;
a1-q")
a-a9,q≠1
2.前n项和公式：Sn={1-g
2,q1或3n=
1-9
na,9=1
(na,q=1
三.数列的通项公式与前n项的和的关系：an=
s。-9,n≥2（③，为数列a,)的
S,n=1
前n项的和为).
四.常见数列的前n项和公式：
1+2+3+…+n=
(n+1)
2
1+3+5+7…+(2n-1)=n2
2+4+6+8…+2n=(n+1)
1P+22+32++n2=nm+102n+
6
1+2+3++m2=0n+
【知识拓展】
一.对于数列{an},若存在正整数k及一个将ak与前面k项a+k-,a+k-2,…an联
系起来的方程
f(an+k,an+k-1,…an)=0,n=1,2,…,则称数列{an}是k阶递推数列，此方程为递推
方程。
由(*)得出ak=g(ank-1,ank-2…a),称为数列{a}的递推关系。
一般说来，确定一个k阶递推数列需要知道k阶初始值：4,42…a。
(A)求通项问题的主要类型：
1.转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重
新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通
项公式求出原数列的通项。
2.累加法：anl=an+f(n)
方
法
利
用
叠
加
法
a=4+f0.4,=4+f2.a.=a-+f0m-.a,=a+2fW。
3.累积法：an1=anf(n)
·方法：利用迭代法，=af0.a=a,f2…a,=afm-.a,=afk).
4.待定系数法：a1=pan+q（卫，q为常数且p≠0,1,9≠0)
~方法：用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an1+元=p(an+),
品从雨
口+号是一个公比为刀的等比数列。
p-1
5.a1=pan+f(n)）（p为非零常数且p≠1)
方法：上式两边同时除以pm,=+p，令=b,有b1=b+四，
D
p"
D,
转化为第一种类型，用叠加法解决。
6.特征根法：a=pan+ga1(n≥2)（p,q为常数)
~方法：可用下面的定理求解。令a,B为相应的二次方程x2-px-q=0的两根
(此方程又称为特征方程)：
(1)当a≠B时，其通项公式为：an=Aa”+BB";
(2)a=B时，其通项公式为：an=(A+Bm)a”-1,
其中A,B分别由初始条件a, 所得的方程组
AC+BB=a,和A+B=a,
Aa2+BB2=a(A+2B)a=az
唯一确定。