2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题11：三角函数综合培优【PDF版+解析】

2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合
一、真题特点分析：
1.【2021中科大5】求函数f()=5+6csx-3cos2x-4cos2x+im3的取值
4
2
范围
2.【2020年武大】设正整数k使得关于x方程x=sinx在区间(-3π，3π)
内恰有5个实根xA.x+x2+3+x4+x=0
B.
29π
12
2
C.Xs tan xs
D.x2,x4,x成等差数列
3.【2020年武大15】设函数f(x)=sinxsin2x,则下列错误的是()
A方程f-号有解B、方程f)=a在[02m)内解的个数为偶数
C.f(x)的图像有对称轴D.f(x)的图像有对称中心
二、知识要点拓展
一，两角和、差的三角公式：
1.正弦：sin(A±B)=sin Acos B±cos Asin B
2.余弦：cos(A±B)=cos Acos B千sin Asin B
3.正t切：tan(A±B)=【anA±tanB
l千tan Atan B
二，正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
nnt
(-l)2sina,n为偶数
(-1)2cosu,n为偶数
sin(
+C)=
2
，cos(+）=
-1
2
2+
(-1)2cosa,n为奇数
(-1)2sina,n为奇数
三.二倍角公式：
1.余弦：cos2a=cos2a-sin2u=2cos2a-1=1-2sin2a
2.正弦：sin2a=2 sin acosa、(3)正切：tan2a=
2tana
1-tan2a
四.辅助角公式：asina+bcosa=Va+sin(a+panp=b,
·注意：Asinx+Bcosx=C有实数解-A2+B2≥C2
五.半角公式（万能公式）：
1-cosa
1+cosa
sin-=土
2
2
cos号=
2
1-cosa
1-cosa
sin a
tan一=±
V1+cosa
sina
1+cosa
a
1+cosa
1+cosa sina
cot
2
\1-cosa
sina
1-cosa
六。正弦定理：一
b
=2R(R为三角形外接圆的半径)
sin A sin B sin C
七，余弦定理：
a2=b2+c2-2bccos A
b2=c2+a2-2cacos B
c2=a2+b2-2abcos C
八.三角形面积公式：S=】absin C=besin A=
2casin B
三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自
主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：
8.三倍角公式：
sin 3a =3sin a-4sina,
cos3a-4cosa-3cosa sinasin(60+a)sin(60-a)=sin3a
4
coscs(60°+a)cos(60°-a)=1cos3a,
tan a tan(60°+a).tan(60°-a)=tan3a。
·注意：利用三倍角公式可以推导出sin18°这一特殊值：令a=18°，则
3a =90-2a,sin 3a cos 2a,
3sina-4sin3a=1-2sin2a,(sina-l1)(4sin2a+2sina-l1)=0。显然sina≠1，
sina=-1+V5
4
(舍去负根)。
9.常见三角不等式：
1.若xe(0,),则sinx2.若x∈0，)，则13.Isinx+cosx1.