2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题15：解析几何一【PDF版+解析】

2022年高考数学尖子生强基计划专题15：解析几何一
一、真题特点分析：
1.【2020武汉大学1】设圆0半径为3，其一条弦AB=4,P为圆0
上任意一点，则AB.BP的最大值为()
A.0
B.1
C.3
D.4
2.【2020年清华大学】在非等边△ABC中，BC=AC,若0和P分别
为△ABC的外心和内心，D在线段BC上，且满足OD⊥BP,则下列选
项正确的是()·
A.B,D,O,P四点共圆
B.OD∥AC
C.OD∥AB
D.PD//AC
3.【2021年清华大学】在△ABC中，D为BC的中点，∠CAD=15°，则∠ABC
的最大值为()·
A.120°
B.105°
C.90°
D.60°
答案：B
二、知识要点拓展
一、知识精讲
1,点到直线的距离：d=A,+B+CI(点P,),直线1：Ar+By+C=0).
VA2+B2
2.圆的四种方程
(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0).
x=a+rcose
(3)圆的参数方程
ly=b+rsine
(4)圆的直径式方程(x-x)x-)+(y-y)y-y2)=0
(圆的直径的端点是A(x,y)、B(x2,).
3.点与圆的位置关系
点P(x,)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种若
d=V(a-x)2+(b-)2,则
d>r台点P在圆外；d=r台点P在圆上；d4.直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种：
①d>r台相离台△<0；
②d=r台相切台△=0；
③d0.
其中d=
Aa+Bb+C
V√A2+B2
5.椭圆xy2
京+左=1la>b>0)的参数方程是
x=acos0
y=bsin
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
1)者风曲线方程为三后1一渐近线方程：三式
a2=0
y=±x.
a
(②)若渐近线方程为y=士2x一±=0→双曲线可设为
a
a b
x2y2
a262=元.
③)若风由线与子芳=1有公共渐近统，可说为又上
a6=元（元>0，
焦点在x轴上，入<0，
焦点在y轴上)·
7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB=V(x-x) +(y-y)2或
AB =1+k2))21+tan2ay-y2Iv1+cot2a
(A(x,y),B(x,2)
1.三角形四心的坐标
设△ABC三边的长度分别为a,b,c,三个顶点A、B、C的坐标分别记为(，ya)、
(xg,yg)、(x,c),则重心G、内心I、垂心H、外心0坐标分别为G
xa sin2A∑yasin2A
，∑a
sin 2A
>sin 2A
□cosA
2.直线系
若直线I:ax+by+C=0与直线l:a,x+by+C2=0相交于P,则它们的线
性组合(a,x+by+G)+(ax+b,y+c)=0(元，4∈R,且不全为0)(*)表示
过P点的直线系。当参数入，4为一组确定的值时，(*)表示一条过P点的直线。
特别的，当元=0时，(*)式即a2x+by+C2=0;当4=0时，(*)式即为
4x+by+C=0。对于1，l,以外的直线，我们往往只在(*)式中保留一个参数，
而使另一个为1.
又若（与l,平行，这时(*）式表示所有与（平行的直线。
3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两
条线段的积相等，即它们的积为定值.
·备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到
圆心的距离为d,圆半径为r,则这个定值为d-r
①当定点在圆内时，d-r2<0,d-等于过定点的最小弦的一半的平方；
②当定点在圆上时，d2-r2=0:
③当定点在圆外时，-r2>0,d-等于从定点向圆所引切线长的平方.
特别地，我们把d-r2称为定点对于圆的幂
4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线：
如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线.这条直线称为两圆的
“根轴”.
·对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于