2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试训练卷（Word版含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
单元测试训练卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(　　)
A．4，5，6 B．2，3，4
C．11，12，13 D．8，15，17
2. 若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有( )
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＋∠C D．∠A＋∠B＝∠C
3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．4 B．3 C．6 D．5
4. 在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
5. 如图，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A＋∠B＝∠C B．a2＝c2－b2
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
6. 已知三角形三内角之间有∠A＝∠B＝∠C，它的最长边为10，则此三角形的面积为( )
A．20 B．10 C．5 D.
7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝4，则BE的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
8. 如图，已知点O，E分别是△ABC三条边的垂直平分线和三个角的角平分线的交点，若∠O＋∠E＝180°，则∠A的度数为( )
A．24° B．36° C．40° D．48°
9. 如图，点A，B，C在同一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM, 则∠DMA的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
10. 如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠CAB的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定点P的方法正确的是( )
A.点P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B．点P是∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.点P为AC，AB两边上的高的交点
D．点P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，则BC的长等于____．
13. 在用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应首先假设_____________________________________________．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是_________
16. 居委会需要在街道旁修建临时奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要求CA＝CB.如图，已知A(0，2)，B(6，4)，则C点坐标为__ __．
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
18．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D.若△ABC的周长为20 cm，△BCE的周长为12 cm，求BC的长．
19．(8分) 如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．写出作法，并说明理由．
20．(10分) 如图所示，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为D，作PF⊥BN，垂足为F.求证：BP是∠ABC的平分线．
21．(12分) 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F.求证：
(1)BF＝AC；
(2)CE＝BF.
22．(12分) 数学课上，张老师列举了下面的例题：
例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
参考答案
1-5DDBCD 6-10DBBBB
11．6
12．6cm
13．在一个三角形中，三个内角都小于60°
14．4
15．4.8
16．(4，0)
17. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵D为AC的中点，∴AD＝DC.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD＝DC，DE＝DF ∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC.∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．
18. 解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为12 cm，即BC＋BE＋CE＝12，∴BC＋AE＋CE＝12，即BC＋AC＝12，又∵△ABC的周长为20 cm，即AB＋BC＋AC＝20，∴AB＋12＝20，则AB＝8，∴AC＝8，∴BC＝20－AB－AC＝20－8－8＝4(cm)
19. 解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.∵点A，A′关于直线l对称，∴直线l为线段AA′的垂直平分线．∴CA＝CA′.∴CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又∵点C′在直线l上，∴C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，∴C′A－C′B＜CA－CB.∴点C到点A，B的距离之差最大．
20. 证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为E.∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA，且PD⊥BM，PF⊥BN，∴PD＝PE，PF＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．∴PD＝PF.又∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴点P在∠ABC的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∴BP是∠ABC的平分线．
21．解：(1)∵DH垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＋∠A＝∠ACD＋∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴△BDF≌△CDA(ASA)，∴BF＝AC.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴CE＝AE＝AC，又∵AC＝BF，∴CE＝BF.
22. 解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；故∠B＝50°或20°或80°
(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝()°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数