第八章机械能守恒定律
第1节功与功率第1课时
1.知道能量守恒是自然界的重要规律．
2．理解势能、动能的概念，理解功的概念．
3．掌握W＝Flcos α的适用条件，会用它进行计算．
4．理解正功、负功的含义，会求多个力的总功．
5．掌握变力功的求法.
知识点一、功
1．功的定义
一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功．
2．做功的因素
(1)力；(2)物体在力的方向上发生的位移．
3．功的公式
(1)力F与位移l同向时：W＝Fl.
(2)力F与位移l有夹角α时：W＝Flcos α，其中F、l、cos α分别表示力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦．
4.使用条件
W＝Flcos α仅适用于求恒力做的功
5.单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J，1J=1N·m
6.标矢性
功是标量，没有方向，但又正负。功的运算遵循算术运算法则。
知识点二、正功和负功
α的取值 W的取值 含义
α＝ W＝0 力F不做功
0≤α＜ W＞0 力F对物体做正功
＜α≤π W＜0 力F对物体做负功 (或说成物体克服力F做功)
【点睛】
正功、负功的物理意义
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力．
知识点三、总功的计算
(1)方法一：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，即
W总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn.
(2)方法二：求几个力的总功时，也可以先求这几个力的合力，再应用功的定义式求合外力做的功，即为总功．W合＝F合·lcos α.
【点睛】
几个力的总功的求法
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
(1)先求物体所受的合力，再根据公式W合＝F合lcos α求合力的功．
(2)先根据W＝Flcos α，求每个分力做的功W1、W2…Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功．即合力做的功等于各个力做功的代数和．
知识点四、几种常见力做功的情况
静摩擦力、滑动摩擦力都可以对物体做正功、负功或不做功。
一对平衡力等大、反向、共线、同体，做功的代数和一定为0.
一对相互作用力做功的代数和不一定为0.因为一对相互作用力分别作用在两个物体上，而两个物体的位移关系不确定，则一对相互作用力做功的关系不确定。
1．下面关于摩擦力做功叙述中正确的是（ ）
A．静摩擦力对物体一定不做功
B．滑动摩擦力对物体一定做负功
C．一对静摩擦力中，一个静摩擦力做正功，另一静摩擦力一定做负功
D．一对滑动摩擦力中，一个滑动摩擦力做负功，另一滑动摩擦力一定做正功
【答案】C
【详解】
A．静摩擦力可以做功，如传送带传送物体，自动扶梯等，故A错误；
B．滑动摩擦力可以做正功，只要滑动摩擦力与物体运动方向相同即可，如小物块轻轻放在匀速运动的传送带上，小物块相对于传送带运动，滑动摩擦力充当动力，传送带对小物块的摩擦力做正功，故B正确；
C．一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，故一个做正功，则另一个就做负功，故C正确；
D．一对滑动摩擦力做功由以下几种情况：1.不做功。比如两个重叠的木块，上面的木块用弹簧系上墙面上，用力拉下端的木块(此木块足够长)，待其稳定后摩擦力对上面的物块不做功。2.做负功。两个重叠的长木板，一个力拉上面的木板一个力拉下面的木板，力的方向相反，摩擦力对两木板都做负功。3.做正功。物体丢上移动的传送带..摩擦力对传送带做负功，对物体做正功。故D错误。
故选C。
2．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时的拉力所做功为（ ）
A．0 B．Fmx0
C．Fmx0 D．
【答案】C
【详解】
此题可用根据图像求“面积”的方法来解决，力F所做的功的大小等于半圆的“面积”大小，即
ABD错误，C正确。
故选C。
1．重5N的滑块从长为1m、倾角为37°的斜面顶端滑至底端，这一过程中重力做功（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ ）
A．5J B．4J C．3J D．0
【答案】C
【详解】
法一：当力与位移成一定夹角时，将力沿位移和垂直于位移方向分解，只有沿位移方向分力做功．将重力沿斜面和垂直于斜面分解，只有沿斜面方向分力做功，则
W＝Gsin37°·l＝5×0.6×1J＝3J
法二：当力与位移成一定夹角时，将位移沿力和垂直于力方向分解，力做功只与沿力方向位移有关．由题知，位移为l＝1m，方向与水平方向成37°。沿水平方向和竖直方向分解位移，得到竖直方向的位移
h＝lsin37°＝1×0.6m＝0.6m
由功的定义式得
W＝Gh＝5×0.6J＝3J
故选C。
2．关于功的概念，下列说法正确的是( )
A．物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多
B．合力做的功等于各分力做功的矢量和
C．摩擦力可以对物体做正功
D．功有正负，但正负不表示方向，而表示大小
【答案】C
【详解】
A．因功的决定因素为力、位移及二者的夹角，若力大、位移大，但两者夹角为90°，则做功为0，故A错误；
BD．功是标量，有正负之分，但功的正负不表示功的大小，而表示力对物体的做功效果，合力做的功等于各分力做功的代数和，所以B、D错误；
C．摩擦力可以做正功，也可做负功，这要看摩擦力与位移的方向关系，故C正确。
3．如图所示，竖直光滑杆上套有一滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力拉绳，使滑块从点由静止开始上升。若从点上升至点和从点上升至点的过程中拉力做的功分别为、，滑块经两点时的速度大小分别为、，图中，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
AB．滑块由点开始运动，经点到点的过程中，拉力的大小不变，拉力的方向与速度方向的夹角在变大，位移又相同，所以，A正确，B错误；
CD．当绳子对滑块的拉力在竖直方向上的分力与滑块重力的合力产生的加速度为零时，滑块具有最大速度，不能确定滑块在三处的加速度，也就无法确定与的大小关系，故C、D错误。
故选A。
4．如图，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A做正功，对B做负功
C．摩擦力对B做负功，对A不做功
D．弹力对A不做功，对B做正功
【答案】C
【详解】
判断AB间是否有摩擦力时是看AB间有无相对滑动（或运动趋势），计算功的大小时涉及到的位移，都是相对地面的位移。A、B间相互作用力为与、与，如图所示。A没有位移，、对A不做功，B有位移，做负功，与位移成90°，不做功，故C正确，ABD错误。
故选C。
5．质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为（ ）
A．μmgLcos2θ B．mgLcos2θ
C．mgLsinθcosθ D．μmgLcosθsinθ
【答案】C
【详解】
物体在斜面静止受力如下图所示，
由平衡条件得，物体所受的静摩擦力
f＝mgsinθ
摩擦力对物体做的功
W＝fLcosθ＝mgLsinθcosθ
故选C。
6．如图所示，滑草场由两段宽度相同但坡度不同的斜面AB和BC连接而成，一名滑草的游客与两段斜面间的动摩擦因数相同。从A滑到B然后到C，在沿两段斜面下滑过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（ ）
A．WA>WB B．WA=WB C．WA
【答案】B
【详解】
设AB与水平面的夹角为，则物块从A点到B点过程中，克服摩擦力做功
同理，设BC与水平面的夹角为，则物块从B点到C点过程中，克服摩擦力做功
则有
故选B。
7．起重机的吊钩下挂一个质量为M的物体，并以加速度a匀减速下降h高度，在下降过程中物体克服钢索的拉力所做的功为（ ）
A．Mgh B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据牛顿第二定律可得
克服钢索的拉力所做的功为
联立解得
所以C正确；ABD错误；
故选C。
8．如图所示，一物体分别沿aO、bO轨道由静止滑下至底端，物体与轨道间的动摩擦因数相同。物体克服摩擦力做功分别是和，则（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【详解】
设斜面的倾角为，滑动摩擦力大小为
则物体克服摩擦力所做的功为
由几何关系可知
水平距离相同，所以克服摩擦力做功相等，故B正确，ACD错误。
故选B。第八章机械能守恒定律
第1节功与功率第2课时
1.知道功率的概念，理解功率的物理意义．
2．掌握功率的定义式P＝，能够用P＝解答有关的问题．
3．知道P＝Fv的推导过程．
4．掌握汽车启动问题的分析方法．
5．理解额定功率和实际功率的概念．
知识点一、功率
1．定义
力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值．
2．定义式
P＝.
3．单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示．
4．意义
功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
【探讨】
如图是解放军正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船．
探讨1：将质量为m的坦克车匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升h高度．怎样计算吊车的功率？
【提示】 吊车对坦克车做的功W＝mgh.功率P＝＝.
探讨2：若坦克车在相同的时间内匀加速上升h的高度，吊车的功率是变大还是变小？
【提示】 变大．匀加速吊起，拉力增大，吊车做的功增多，时间相同，功率变大．
【点睛】
定义式及其物理意义
(1)定义式：功率是功跟完成这些功所用时间的比值，即P＝，功率是用比值定义法定义的物理量，功率的大小用来表示，但功率与功、时间无关．
(2)物理意义：表示在一段时间内力做功的平均快慢．
知识点二、功率与力、速度的关系
1．功率与速度的关系式
P＝Fv(F与v方向相同)．
2．推导
―→P＝Fv
3．应用
由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度．
【探讨】
汽车以不同方式启动，一次以恒定功率启动，一次匀加速启动．
图7 3 6
探讨1：用公式P＝Fv研究汽车启动问题时，力F是什么力？
【提示】 F是汽车的牵引力．
探讨2：以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
【提示】 汽车以恒定功率启动，根据P＝Fv，v增大，F减小，加速度减小，故加速度变化，汽车做变加速运动．
【点睛】
P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
知识点三、平均功率和瞬时功率
1.平均功率：力在一段时间内做功的功率
计算：一般用计算平均功率
2.瞬时功率：力在某一时刻做功的功率
计算：用P=Fvcos计算瞬时功率，v是某一时刻的瞬时速度。
知识点四、额定功率和实际功率
额定功率与实际功率的比较
定义 特点 联系
额定功率 发动机正常条件下长时间工作时的最大输出功率 不同机械的额定功率可能不同，同一机械的额定功率不变 为了机械的安全P额≥P实
实际功率 发动机实际工作时的输出功率 同一机械的实际功率随工作情况而变
知识点五、机车的两种启动方式
两种 方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图和v t图
OA 段 过程分析
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝F阻 a＝0 F阻＝，以vm做匀速直线运动
1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，用大小为F、方向与水平面成θ角且斜向下的恒力作用在该木块上，经过时间t，力F的瞬时功率为（ ）
A．t B．t C．t D．t
【答案】A
【详解】
根据牛顿第二定律得，木块的加速度为：a=，则t时刻的瞬时速度为：v＝at＝，则力F的瞬时功率为：P=Fvcosθ=，故A正确，BCD错误．故选A．
2．一个小孩站在船头，按如图所示的两种情况用同样大小的力拉绳。若经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功分别为W1、W2，在时间t内小孩拉绳的平均功率分别为P1、P2，则（ ）
A．W1>W2，P1=P2 B．W1=W2，P1=P2
C．W1【答案】C
【详解】
第一种情况，小孩做功等于船（小孩所在）和小孩动能的增加；第二种情况下，小孩做功等于船（小孩所在）、小孩以及另一船动能的增加，两种情况下，船（小孩所在）和小孩受力相同，速度变化相同；所以W1，
故P1故选C。
1．关于某力做功的功率，下列说法正确的是（ ）
A．该力越大，其功率就越大
B．该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大
C．功率越大，说明该力做的功越多
D．功率越小，说明该力做功的时间越少
【答案】B
【详解】
A．根据可知，力越大，功率不一定大，故A错误；
B．功率等于单位时间内做功的多少，该力在单位时间内做功越多，功率越大，故B正确；
CD．功率是反应做功快慢的物理量，功率大，做功快，功率小，做功慢，功率大小不能说明做功的多少，故CD错误。
故选B。
2．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时．汽车的瞬时加速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
当汽车达到最大速度时做匀速运动，牵引力F与摩擦力f相等，有
，P=Fv
所以
当速度达到时，有
则
所以
故选C。
3．动车组由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组每节车厢的质量均相等，动车的额定功率均相同，动车组在水平轨道运行过程中受到的阻力与行驶速度成正比。某列动车组仅第一节车厢为动车时，动车组的最大速率为v；若要该动车组最大速率提高至2v，则需要再增加几节车厢为动车（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】
当动车组只有一节车厢为动车时，最大速率为v，则有
得
当有n节车厢为动车时，有
其中
解得
则需要再增加3节车厢为动车
故选C。
4．质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻力大小恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是（ ）
A．2 kW B．22 kW
C．1.1 kW D．20 kW
【答案】B
【详解】
根据牛顿第二定律得
F－Ff＝ma
则
F＝Ff＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N
汽车第1 s末的速度大小为
v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s
所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为
P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW
故选B。
5．一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量为m=2×103 kg，汽车受到的阻力为车重力的，g取10 m/s2，则（ ）
A．汽车在前5 s内受到的阻力大小为200 N
B．前5 s内的牵引力大小为6×103 N
C．汽车的额定功率为40 kW
D．汽车的最大速度为20 m/s
【答案】B
【详解】
A．由题意知汽车受到的阻力为车重力的，则阻力大小为
Ff=mg=×2×103×10 N=2 000 N
A错误；
B．由题图知前5 s内的加速度
a==2 m/s2
由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力大小为
F=Ff＋ma=（2 000＋2×103×2） N=6×103 N
B正确；
CD．5 s末达到额定功率
P=Fv5=6×103×10 W=6×104 W=60 kW
最大速度
vmax= =m/s=30 m/s
CD错误。
故选B。
6．仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目之一。根据该标准高三女生一分钟内完成55个以上仰卧起坐记为满分。如图所示，若某高三女生一分钟内做了59个仰卧起坐，其质量约为55kg，身高约1.6m，上半身质量为总质量的0.62倍，仰卧起坐时下半身重心位置不变，重力加速度，则测试过程中该女生克服重力做功的平均功率接近于（ ）
A．70W
B．140W
C．280W
D．560W
【答案】B
【详解】
该同学身高约，则每次上半身重心上升的距离约为
则她每一次克服重力做的功为
1分钟内她克服重力所做的总功为
她克服重力做功的平均功率为
故选B。
7．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径，若在A点以初速度沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；若在A点抛出小球的同时，在C点以初速度沿平行于OA的方向平抛另一相同质量的小球也能击中D点。已知，且不计空气阻力，则（ ）
A．两小球在此过程中动能的增加量相等
B．两小球同时落到D点
C．在击中D点前瞬间，重力对两小球做功的功率相等
D．两小球初速度之比
【答案】D
【详解】
A．由动能定理可知两球在此过程中动能的增加量等于重力所做的功，由
A错误；
B．由
可知小球下落时间取决于下落高度，因C、D两点间的竖直高度小于A、D两点间的竖直高度，故从C点抛出的小球先到达D点，B错误；
C．根据
可知重力的瞬时功率与小球在竖直方向的分速度有关，由
可得，从A点抛出的小球落到D点时，竖直方向的分速度大于从C点抛出的小球落到D点时竖直方向的分速度， C错误；
从A点抛出的小球竖直位移为R，水平位移为R，
D．从C点抛出的小球竖直位移为
水平位移为
则根据平抛运动的初速度
可得
D正确。
故选D。
8．如图甲所示滑轮与绳的质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（g取）（ ）
A．物体加速度大小为
B．F的大小为21N
C．2s末F的功率大小为42W
D．0~2s内F做功的平均功率为42W
【答案】A
【详解】
A．速度—时间图线的斜率表示加速度则物体的加速度
故A正确；
B．根据牛顿第二定律得
则
故B错误；
C．2s末物体的速度为4m/s，则拉力作用点的速度为8m/s，则拉力的功率
故C错误；
D．0~2s内物体的位移
则拉力作用点的位移s为8m，拉力做功的平均功率
故D错误。
故选A。