第八章机械能守恒定律
第2节重力势能第1课时
1.知道重力做功与路径无关的特点．
2．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．
3．掌握重力做功与重力势能变化的关系．
4．理解重力势能的相对性．
5．知道重力势能是物体和地球系统所共有的.
知识点一、重力做的功
1.特点
只跟物体运动的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功．
2.表达式
WG＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差．h1、h2分别表示物体起点和终点的高度．
知识点二、重力势能
1.定义
物体由于位于高处而具有的能量．
2.大小
等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh.其中h表示物体(重心)的高度．
3.单位
焦耳，与功的单位相同．
4.重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2.
②重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增加．
【探讨】
如图，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯，请思考以下问题：
探讨1：小朋友沿不同的路径从滑梯上端滑到下端，重力做的功是否相同？
【提示】相同．重力做功与路径无关．
探讨2：小朋友从最高点滑落到地面过程中重力势能是增加还是减少？
【提示】根据重力势能的表达式知，小朋友沿滑梯下滑时，高度变低，重力势能减少．
【点睛】
重力做功与重力势能的关系
重力做功 重力势能
物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式 WG＝mgΔh Ep＝mgh
影响大小的因素 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相对参考面的高度h
特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同
过程量 状态量
联系 重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
知识点三、重力势能的相对性
1．相对性
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面．在参考平面上，物体的重力势能取作0.
(2)重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的．
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小．
【探讨】
打夯时，夯锤被高高举起，然后砸向地面，设夯锤质量为m.
探讨1：选择地面为参考平面，夯锤在地面上的重力势能是多少？夯锤从地面被举高h米后重力势能是多少？
【提示】 0 mgh
探讨2：选择离地面高度h处为参考平面，夯锤在地面上的重力势能是多少？夯锤在h米高处重力势能是多少？
【提示】 －mgh 0
【点睛】
1．重力势能的三个性质
(1)重力势能的相对性
选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关．
(2)重力势能变化的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关．
(3)重力势能的系统性
重力是地球对物体吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法．
2．重力势能的正负
重力势能是标量，其数值可正可负可为零，表示的是相对大小，如图所示．
物体在A、B、C三点重力势能的正负如下表所示．
参考平面 EpA EpB EpC
地面 正值 正值 零
桌面 正值 零 负值
A处平面 零 负值 负值
1．如图所示，两个底面积都是S的圆桶，用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平地面上，两桶内装有密度为ρ的同种液体，阀门关闭时两桶液面的高度分别为h1和h2，现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过程中( )
A．重力对液体做的功为
B．重力势能减少了
C．重力既做正功，又做负功，其总功为零
D．重力势能减少，说明重力做负功
【答案】B
【详解】
两个截面积都是S的铁桶，底部放在同一水平面上，左边内装的高度为h1、密度为ρ的液体，现把连接两筒的阀门打开，使两筒中液体高度相等，此时液体的高度为h，所以有：
因此从左边移到右边的液体体积为为：所以这个过程液体的重力势能变化量等于左边上部分的液体移到右则里的重力势能变化．即：，所以重力对水做的正功，故B正确．
2．2014年春晚中开心麻花团队打造的创意形体秀《魔幻三兄弟给观众留下了很深的印象该剧采用了“斜躺”的表演方式，三位演员躺在倾角为的斜面上完成一系列动作，摄像机垂直于斜面拍摄，让观众产生演员在竖直墙面前表演的错觉如图所示，演员甲被演员乙和演员丙“竖直向上”抛出，到最高点后恰好悬停在“空中”已知演员甲的质量，该过程中观众看到演员甲上升的“高度”为设演员甲和斜面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，不计空气阻力则该过程中，下列说法不正确的是
A．演员甲被抛出的初速度为 B．演员甲运动的时间为
C．演员甲的重力势能增加了480J D．演员乙和演员丙对甲做的功为480J
【答案】C
【详解】
因为到达最高点后，恰好悬停，则有：mgsin30°=μmgcos30°，向上滑动的过程中，加速度a=＝2gsin30°＝10m/s2．根据v02＝2ax得，初速度．故A正确．演员甲的运动时间．故B正确．演员甲的重力势能增加量△Ep＝mgxsin30°＝600×0.8×J=240J．故C错误．演员乙和演员丙对甲做的功W=mv02＝×60×16J＝480J．故D正确．本题选不正确的，故选C．
【点睛】
本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，以及知道重力做功与重力势能的关系．
1．关于重力势能的说法正确的是（ ）
A．重力势能由重物本身因素决定
B．重力势能有负值，因此说重力势能是矢量
C．重力做功才有重力势能，重力不做功，物体就不具有重力势能
D．重力做功引起重力势能变化
【答案】D
【详解】
A．重力势能由重物本身的质量和高度以及重力加速度共同决定，A错误；
B．重力势能是标量，负号表示大小，不表示方向，B错误；
CD．重力做功引起重力势能的变化，即重力做功与重力势能变化联系，重力不做功表示重力势能不发生变化，并不表示不具有重力势能，C错误D正确。
故选D。
2．在高处的某一点将三个质量相同的小球以相同的速率v0分别上抛、平抛、下抛，以下说法正确的是（ ）
A．从抛出到落地过程中，重力对它们所做的功都相等
B．从抛出到落地过程中，重力对它们做功的平均功率都相等
C．三个球落地时，重力的瞬时功率相同
D．如果考虑空气阻力，则从抛出到落地过程中，重力势能变化不相等
【答案】A
【详解】
A．三个小球初末位置的高度差相同，由于重力做功与路径无关，只是与初末位置的高度差有关，所以重力做功都相等，A正确；
B．三个球在空中运动的时间不一样，它们的时间关系是
t上抛>t平抛>t下抛
而平均功率P＝ ，所以重力做功的平均功率不相等，B错误；
C．落地时三个球的速率相等，但速度方向不同，设速度方向与竖直方向夹角为α，瞬时功率
P瞬＝Fvcosα＝mgvcosα
上抛和下抛时α＝0，而平抛小球落地时α≠0，故瞬时功率不相等，C错误；
D．重力势能的变化只与重力做功有关，重力做功相等，三个球的重力势能变化相等，D错误。
故选A。
3．质量为1kg的物体从高处自由下落，经3s落地，那么它在下落的第1s内，重力势能的减少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据自由落体运动，物体在下落的第1s内的位移为
h = gt2 = 5m
则根据重力做功与重力势能的关系有
Ep = mgh = 50J
故选C。
4．如图所示，某同学进行爬竿训练，爬上竿顶后，再从竿顶顺竿滑到地面，每次所用时间各不相同，下列说法正确的是（ ）
A．向上爬竿过程中动能转化为重力势能 B．下滑过程中摩擦力的大小一定保持不变
C．向上爬竿时受到的摩擦力方向向上 D．下滑时间短的那次速度大，重力做的功多
【答案】C
【详解】
A．向上爬杆时速度变化未知，动能变化未知，重力势能增大，不能确定由动能转化而来，故A错误；
B．因为下滑过程中，人对杆的压力变化未知，而接触面粗糙程度不变，所以无法判断摩擦力变化，故B错误；
C．向上爬动过程中，受重力作用，相对于杆有向下的运动趋势，所以摩擦力方向向上，故C正确；
D．每次下滑过程中，位移相同，所以时间越短速度越大，重力相同，高度相同，所以重力做功相同，故D错误。
故选C。
5．一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点．以下表述错误的是（ ）
A．若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小
B．若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大
C．若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能小于零
D．无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大
【答案】A
【详解】
设AB间的高度差为，BC间的高度度差为
A．若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能为
小球在C点的重力势能为
因此A错误；
B．若以地面为参考平面，由于B点的位置比C点的高，因此小球在B点的重力势能比C点大，B正确；
C．若以B点所在的水平面为参考平面，C点位置在B点之下，因此小球在C点的重力势能小于零，C正确；
D．B点位置在C点上方，因此无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大，D正确。
故错误的选A。
6．一物体从某一高处做平抛运动落到地面，EP表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图像中，能正确反映Ep和h之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设初始位置高度为H，当下落h时的势能
从函数表达式可知，的图象是一条斜率为负值的直线，因此B正确，ACD错误。
故选B。
7．如图所示，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
以均匀柔软细绳MQ段为研究对象，其质量为。取M点所在的水平面为零势能面，开始时，细绳MQ段的重力势能
当用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时，
细绳MQ段的重力势能
则外力做的功即克服重力做的功等于细绳MQ段的重力势能的变化，
即
故选D。
8．质量相等的均匀柔软细绳A、B平放于水平地面上，细绳A较长。分别捏住两绳中点缓慢提起，使它们全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为、，上述过程中克服重力做的功分别为、。以下说法正确的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则可能有
C．若，则可能有 D．若，则一定有
【答案】B
【详解】
A．因绳A较长，若，则A的重心较低。故。故A错误。
BD．若，不能确定两根绳子重心的高低，可能，也可能，还可能。故B正确，D错误。
C．若，则一定是A的重心低，那。故C错误。
故选B。第八章机械能守恒定律
第2节重力势能第2课时
1.知道探究弹性势能表达式的思路．
2．理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素．
3．理解探究过程中猜想、分析和转化的方法．
4．掌握求弹力做功时化变力为恒力的思想方法．
知识点一、弹性势能
1．弹性势能的概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．决定弹性势能大小相关因素的猜想
(1)猜想依据
弹性势能和重力势能同属势能，重力势能大小与物体的质量和高度有关，弹簧弹力与其形变量和劲度系数有关．
(2)猜想结论
弹性势能与弹簧的形变量l和劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大．在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能越大．
【探讨】如图所示，小朋友用力将弹簧拉长至一定长度．
探讨1：小朋友不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
【提示】 弹簧不伸长，没有弹性势能．
探讨2：小朋友拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
【提示】 小朋友对弹簧做正功，弹性势能增加．
探讨3：在弹簧弹性限度之内，小朋友将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
【提示】 将弹簧拉得越长，弹力做功越多，弹性势能越大．
【点睛】
1．弹性势能的产生原因
2．弹性势能的影响因素
3．弹性势能与弹力做功的关系
如图，O为弹簧的原长处．
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能.
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp.
知识点二、弹性势能的表达式
1．弹力功特点
随弹簧形变量的变化而变化，还因劲度系数的不同而不同．
2．弹力功与拉力功的关系：拉力功等于克服弹力做的功．
3．“化变为恒”求拉力功
W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…＋FnΔln.
4．“F l”图象面积意义：表示力F做功的值．
【探讨】如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置O(小球原来静止位置)向下拉至位置M由静止释放，则从释放点M到最高点N(此时小球加速度小于g)过程中：
探讨1：重力做什么功？重力势能怎么变化？
【提示】 重力做负功，重力势能增加．
探讨2：弹力做什么功？弹性势能怎么变化？
【提示】 弹力先做正功、后做负功、弹性势能先减小、后增加．
探讨3：若距离MO＝ON，则小球位于M和N位置时，弹簧的弹性势能相同吗？
【提示】 弹性势能相同．
【点睛】
1．弹性势能表达式
(1)弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系：弹簧弹力做的功等于弹性势能的减少量，或者说弹性势能的增加量等于弹簧弹力做功的负值，即W＝－ΔEp.
(2)弹簧弹力做功．如图7 5 8所示，对于弹簧弹力F与其伸长量x的关系F x图象，其与横轴所围图形(图中阴影部分)的面积就表示克服弹力所做的功．
图7 5 8
由此可求得劲度系数为k的弹簧从其自然长度伸长了x长度时，弹力做功W＝－kx2.
(3)表达式：根据W＝－ΔEp得W＝Ep0－Ep＝0－Ep，所以Ep＝kx2.
2．重力势能和弹性势能的对比
弹性势能 重力势能
定义 发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能 物体由于被举高及地球的吸引作用而具有的势能
表达式 Ep＝kx2 Ep＝mgh
相对性 弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为零，表达式最为简洁 重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关
系统性 发生弹性形变的物体上所有质点共同具有的能量 地球附近的物体与地球所共有的能量
联系 两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定．同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
知识点三、势能
势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。
重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。
重力势能的变化只取决于重力做功，弹性势能的变化只取决于弹力做功，与物体是否受其他力、做什么运动等无关。
1．弹簧发生形变时，其弹性势能的表达式为Ep=kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是形变量．如图，一质量为m物体位于一直立的轻弹簧上方h高度处，该物体从静止开始落向弹簧．设弹簧的劲度系数为k，则物块的最大动能为（弹簧发生的形变在弹性限度内）（ ）
A．mgh B．mgh+ C．mgh+ D．mgh-
【答案】B
【详解】
当重力等于弹力时物体动能最大，此时
由能量转化和守恒可得
其中
解得
故B正确，ACD错误．
故选B。
2．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为（ ）
A．3．6J，－3．6J
B．－3．6J，3．6J
C．1．8J，－1．8J
D．－1．8J，1．8J
【答案】C
【详解】
弹力做的功W＝×0．04J＝1.8J>0，故弹性势能减少1.8J，即ΔEp＝Ep2－Ep1＝－1.8J，故选项C正确
1．关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．只要发生形变物体就具有弹性势能
B．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
C．当弹簧的弹力做正功时，弹性势能增加
D．弹性势能必须通过弹力做功来改变
【答案】D
【详解】
A．只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能，A错误；
B．弹簧的弹性势能与形变量和劲度系数有关，B错误；
CD．弹性势能的变化总是与弹力做功相对应，当弹力做正功时，弹性势能减少，当弹力做负功时，弹性势能增加，C错误，D正确。
故选D。
2．劲度系数分别为和的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定，如图，弹性势能、的关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较、的大小
【答案】B
【详解】
根据牛顿第三定律，A、B弹簧的弹力大小相等。由于
所以弹性势能
又由于
所以
故选B。
3．如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是（ ）
A．重力势能减少，弹性势能增大 B．重力势能增大，弹性势能减少
C．重力势能减少，弹性势能减少 D．重力势能不变，弹性势能增大
【答案】A
【详解】
弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增加；下降中，重力做正功，重力势能减少。故A正确，BCD错误。
故选A。
4．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，已知，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
弹簧弹力做的功与弹性势能的关系为
可知，两次弹簧的形变量相等，则
故选D。
5．一根弹簧的弹力和形变量的关系图线如图所示，那么弹簧由伸长量为8cm到伸长量为4cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量分别为（ ）
A．3.6J，－3.6J B．－3.6J，3.6J C．－1.8J，1.8J D．1.8J，－1.8J
【答案】D
【详解】
弹力做的功
故弹性势能减少1.8J，即
故选D。
6．如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球动能最大
C．~这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．~这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】
小球在接触弹簧之前做自由落体．碰到弹簧后先做加速度不断减小的加速运动，当加速度为0即重力等于弹簧弹力时加速度达到最大值，而后往下做加速度不断增大的减速运动，与弹簧接触的整个下降过程，小球的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势能．上升过程恰好与下降过程互逆．由乙图可知时刻开始接触弹簧，但在刚开始接触后的一段时间内，重力大于弹力，小球仍做加速运动，所以此刻小球的动能不是最大，A错误；时刻弹力最大，小球处在最低点，动能最小，B错误；时刻小球往上运动恰好要离开弹簧；这段时间内，小球的先加速后减速，动能先增加后减少，弹簧的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，C正确D错误．
7．如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是（ ）
A．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
B．ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
C．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
D．ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
【答案】B
【解析】
速度最大的条件是弹力等于重力即kx＝mg，即达到最大速度时，弹簧形变量x相同．两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1>h2，所以ΔE1>ΔE2，B对．
8．两只不同的弹簧测力计A、B，劲度系数分别是k1、k2，（k1>k2）．现用相同的力F拉弹簧，若弹簧的弹性势能为kx2/2，则下列说法正确的是（ ）
A．A的弹性势能大
B．B的弹性势能大
C．A、B弹性势能相等
D．无法判断
【答案】B
【解析】
试题分析：根据做功与能量变化的关系，以及胡克定律即可正确解答．
克服弹簧的弹力做的功等于弹簧增加的弹性势能，两个弹簧的拉力相等的条件下，劲度系数越大，形变量越小，故根据可知，弹性势能与弹簧的劲度系数成反比，故B的弹性势能大，B正确．
