江苏省新高考基地学校2022届高三第一学期12月调研-数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z满足z(1＋2i)＝3－i，则|z|＝( )A． B． C．2 D．
2．设全集U＝R，集合，集合，则( )
A．{x|x＜－1} B． C．{} D．{}
3．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7．在大于3且不超过20的素数中，随机选取4个不同的数，恰好是两组孪生素数的概率为 ( )
A． B． C． D．
4．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F的口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为( )
A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x－2)＝f(x＋2)，且f(1)＋2f(2)＋3f(3)＝4，则f(2021)＝( )A．2 B．－2 C．4 D．－4
6．已知，则( )A． B．－ C． D．
7．在直角△ABC中，D是斜边AB上一点，△ACD与△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到的几何体体积分别为，，若＝，则＝( )
A． B． C． D．
8．已知函数在区间[－π，π]上的图象如图所示，则a＝( )
A． B． C．2 D．－2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某零件根据使用寿命分为三个等级，使用寿命不低于1000小时为一等品，不超过950小时为三等品，介于950小时至1000小时之间为二等品．通过测试已知该零件使用寿命X(小时)服从正态分布N(1000，2500)，则下列说法正确的是( )
(若X~(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜σ)≈0.6826)
A．随机抽测一个零件，是一等品的概率为0.5
B．随机抽测一个零件，是二等品的概率大于是三等品的概率
C．随机抽取100个零件，二等品的个数恰好为34个
D．随机抽取100个零件，三等品的个数约为16个
10．将函数f(x)＝2cos2x的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝g(x)的图象．则( )
A．g(x)的周期为2π B．g(x)的图象关于直线对称
C．g(x)在区间上单调递减 D．
11．已知椭圆C1：()的上焦点为F1，双曲线C2：的左、右焦点分别为F2，F3，直线F1F2与C2的右支相交于点A，若，则( )
A．C1的离心率为 B．C2的离心率为
C．C2的渐近线方程为 D．为等边三角形
12．若，a，b∈R，则( )
A．a－b≤ln2 B．2a－b≥2ln2 C．b＞lna D．a－b＜e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线y＝2x＋b与函数f(x)＝x＋lnx的图象相切，则b＝ ．
14．写出一个同时具有下列性质①②的圆的方程为 ．
①经过坐标原点；②被两条坐标轴截得的弦长相等．
15．黄金分割是指用一个点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为，该点称为这条线段的黄金分割点，已知在边长为1的等边△ABC中，D是BC边的一个黄金分割点(BD＞CD)，E是直线AD上一点，若，则 ．
16．已知正方体的棱长为2，点P在侧面内(含边界)，则三棱锥体积的最大值为 ；满足PA⊥PB的点P的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinA＋3sinB＝3sinC，a＝2， ．试判断△ABC是否存在 若存在，求△ABC的面积；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知数列满足．(1)若，证明：是等差数列；
(2)设，数列前n项和为，若，求．
19．(本小题满分12分)
在四棱锥A－BCDE中，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点．(1)证明：AB⊥CE；
(2)若平面ADF与平面ABE所成二面角为60°，求四棱锥A－BCDE的体积．
20．(本小题满分12分)
2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答n次(n≥3，n∈N*)，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的．
(1)记小明前2题累计得分为X，求X的概率分布列和数学期望；
(2)记第k题小明回答正确的概率为ak，(k＝1，2，…，n)，证明：当k≥2时，，并求的通项公式．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆C：0)的右焦点为F(3，0)，长轴与短轴的长度之和．直线l：y＝kx＋m与C相切于点P，且与直线l′：x＝t相交于点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．
①以PQ为直径的圆经过点F；②t＝4．
22．(本小题满分12分)
已知函数．(1)若，求函数f(x)的极值；
(2)当x＞0时，f(x)≥，求a的取值范围．江苏省新高考基地学校 2022届高三第一学期 12月调研
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．复数 z满足 z(1＋2i)＝3－i，则|z|＝
A． 2 B． 5 C．2 D．5 2
2 1 1．设全集 U＝R，集合A＝{x| ＜－1}，集合B＝{x|x＞－ }，则A∩(CUB)＝x 2
A {x|x 1} B {x|x 1} C {x| 1 x 0} D {x| 1 x 1． ＜－ ． ≤－ ． － ＜ ＜ ． － ＜ ≤－ }
2 2 2
3．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，
就是指两个相差 2的素数，例如 5 和 7．在大于 3 且不超过 20的素数中，随机选取 4个不
同的数，恰好是两组孪生素数的概率为
A 1 2 1 1． B． C． D．
10 15 5 25
1
4．如图 1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，
反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)，热馈源安装在抛物线的焦点处，
圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图 2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度 AD等
于热馈源 F的口径 AB的距离，已知口径长为 40cm，防护罩宽为 15cm，则顶点 O到防护罩
外端 CD的距离为
A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm
5．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x－2)＝f(x＋2)，且 f(1)＋2f(2)＋3f(3)＝4，则 f(2021)
＝
A．2 B．－2 C．4 D．－4
2
6．已知tan(α π＋ ) 1＝ ，则sin(2π－2α)＝
6 2 3
A 4 B 4 3． ．－ C． D 3．－
5 5 4 4
7．在直角△ABC中，D是斜边 AB上一点，△ACD与△ABC绕边 AC所在直线旋转一周得到
V 1 AD
的几何体体积分别为V1，V2，若
1＝ ，则 ＝
V2 2 AB
3
A 2 B 1 C 1． ． ． D 2．
2 2 4 2
8 f(x) sinx．已知函数 ＝ 在区间[－π，π]上的图象如图所示，则 a＝
a－cosx
3
A 5． B 5．－ C．2 D．－2
2 2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．某零件根据使用寿命分为三个等级，使用寿命不低于 1000 小时为一等品，不超过 950
小时为三等品，介于 950小时至 1000小时之间为二等品．通过测试已知该零件使用寿命 X(小
时)服从正态分布 N(1000，2500)，则下列说法正确的是
(若 X~(μ，σ2)，则 P(|X－μ|＜σ)≈0.6826)
A．随机抽测一个零件，是一等品的概率为 0.5
B．随机抽测一个零件，是二等品的概率大于是三等品的概率
C．随机抽取 100个零件，二等品的个数恰好为 34个
D．随机抽取 100个零件，三等品的个数约为 16个
4
10．将函数 f(x)＝2cos2x π的图象向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，
3
1
横坐标变为原来的 ，得到函数 y＝g(x)的图象．则
2
A．g(x)的周期为 2π B．g(x)的图象关于直线x π＝ 对称
3
C．g(x) (0 π在区间 ， )上单调递减 D．{y|y＝g(x)，0 x π＜ ≤ }＝[－2，1)
6 3
y2 x2 x2 y2
11．已知椭圆 C1：( 2＋ 2＝1(m＞n＞0)的上焦点为 F1，双曲线 C2： 2－ 2＝1的左、右焦m n n m
点分别为 F2，F3，直线 F1F2与 C2的右支相交于点 A，若AF3⊥F2F3，则
A．C 21的离心率为 B．C2的离心率为 2
2
C．C2的渐近线方程为y＝± 2x D．△AF1F3为等边三角形
5
12 ea．若 －eb＝1，a，b∈R，则
A．a－b≤ln2 B．2a－b≥2ln2 C．b＞lna D．a－b －b＜e
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．若直线 y＝2x＋b与函数 f(x)＝x＋lnx的图象相切，则 b＝ ．
6
14．写出一个同时具有下列性质①②的圆的方程为 ．
①经过坐标原点；②被两条坐标轴截得的弦长相等．
15．黄金分割是指用一个点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部
5－1
分与这部分之比，其比值为 ，该点称为这条线段的黄金分割点，已知在边长为 1的等
2
边△ → → →ABC中，D是BC边的一个黄金分割点(BD＞CD)，E是直线 AD上一点，若AE＝AB＋kAC，
→
则AB
→
·AE＝ ．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，点 P 在侧面BB1C1C内(含边界)，则三棱锥
A1－PBD体积的最大值为 ；满足 PA⊥PB的点 P的轨迹长度为 ．
7
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
2 1 5
在①cosA＝ ；②cosC＝－ ；③sinB＝ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
3 6 3
已知△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，2sinA＋3sinB＝3sinC，a＝2， ．试
判断△ABC是否存在 若存在，求△ABC的面积；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
8
18．(本小题满分 12分)
已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝an＋3．
(1) 5若a2＝ ，证明：{an}是等差数列；2
(2) 1设bn＝ ，数列{bn}前 n项和为Sa a n
，若a2＝4，求S10．
n n＋2
【解析】
9
19．(本小题满分 12分)
在四棱锥 A－BCDE中，平面 ABE⊥平面 BCDE，AB＝AE，底面 BCDE是梯形，BC//DE，
BC⊥CD，CD＝DE 1＝ BC＝2，F是边 BC的中点．
2
(1)证明：AB⊥CE；
(2)若平面 ADF与平面 ABE所成二面角为 60°，求四棱锥 A－BCDE的体积．
【解析】
10
20．(本小题满分 12分)
2021年 4 月 23日是第 26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题
知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答 n次(n≥3，n∈N*)，每次回答
一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题
从基础题库中随机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答
对一个得 10分，否则得 0分；挑战题答对一个得 30分，否则得 0分．已知小明能正确回答
3 2
基础类问题的概率为 ，能正确回答挑战类问题的概率为 ，且每次回答问题是相互独立的．
5 5
(1)记小明前 2题累计得分为 X，求 X的概率分布列和数学期望；
(2) 1 3记第 k题小明回答正确的概率为 ak，(k＝1，2，…，n)，证明：当 k≥2时，ak＝－ a5 k－1
＋ ，
5
并求{ak}的通项公式．
【解析】
11
21．(本小题满分 12分)
x2 y2
已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3，0)，长轴与短轴的长度之和6 3．直线 l：a b
y＝kx＋m与 C相切于点 P，且与直线 l′：x＝t相交于点 Q．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．
①以 PQ为直径的圆经过点 F；②t＝4．
【解析】
12
22．(本小题满分 12分)
已知函数f(x) x＝ae －lnx－lna．
(1) a 1若 ＝ ，求函数 f(x)的极值；
e
(2)当 x＞0时，f(x) 5≥ ，求 a的取值范围．
2
【解析】
13
