7.3.2 离散型随机变量的方差同步训练（Word含答案解析）

7.3.2 离散型随机变量的方差（同步训练）
1.有甲、乙两台自动包装机，包装质量分别为随机变量X甲，X乙，已知E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，则(　　)
A．甲包装机的质量较好
B．乙包装机的质量较好
C．甲、乙两台包装机的质量一样好
D．甲、乙两台包装机的质量不能比较
2.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
3.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P x y
若E(X)＝，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
4.设随机变量X概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
5.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则(　　)
A．D(X1)＞D(X2) B．D(X1)＝D(X2)
C．D(X1)＜D(X2) D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
6.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(X)等于(　　)
A．5 B．8
C．10 D．16
7.(多选)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数，则(　　)
A．E(X)＝ B．E(Y)＝
C．D(X)＝ D．D(Y)＝
8.已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ m n
P a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A． B．2
C．1 D．0
9.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)
A． B．
C．3 D．
10.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________
11.随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________
12.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
且E(X)＝1.1，则D(X)＝________
13.已知随机变量ξ的分布列如下表，
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 x
若η＝3ξ－1，则η的方差为________
14.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________
X 1 2 3 4
P n 0.2 0.3 m
15.已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1 －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05
X2 －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．
16.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．
17.某人欲投资10万元，有两种方案可供选择，设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元)，其分布列分别为
X －2 8
P 0.7 0.3
　　
Y －3 12
P 0.7 0.3
假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？
参考答案：
1.B　
解析：∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)，∴乙包装机的质量更稳定，即质量较好．
2.D　
解析：随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P 1－m m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
3.B　
解析：由随机变量分布列的性质得x＋y＝，由E(X)＝，得1×＋2x＋3y＝，解得x＝，y＝.
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
4.D　
解析：由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
5.A　
解析：由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)＞D(X2)．
6.B　
解析：∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
7.ABCD　
解析：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝.
Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3，∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝.
8.D　
解析：由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.
又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
9.C　
解析：由解得或
∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2.∴x1＋x2＝3.
10.0.5　
解析：事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
11.答案：　
解析：由题意得解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.
12.答案：0.49　
解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
13.答案：32.04　
解析：依题意，0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5，∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.∴D(η )＝D(3ξ－1)＝32D(ξ)＝32.04.
14.答案：1　
解析：根据题意，得解得
∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.3＋(4－3)2×0.4＝1.
15.解：∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，
∴E(X1)＝E(X2)．
D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)＜D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．
16.解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.
17.解：由期望和方差和计算公式，得
E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1，E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，
D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.
由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75%＝0.175(万元)．
从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都需要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险小于方案二．所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二．