2021-2022学年人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数课后提升（Word版含答案）

锐角三角函数
一、单选题
1．如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（　　）
A． B． C． D．
3．如果∠A为锐角，cosA＝，那么∠A 取值范围是（ ）
A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45° C．45°<∠A<60° D．60°＜∠A＜90°
4．如图，已知中，，，若，于点E，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝5，E是AB边上的一点，连接DE、EC．若EC平分∠BED，则sin∠BCE的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形OABC的边OC在轴上，点A、B在第一象限内，，反比例函数的图象经过点A，若菱形的面积为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，以A为圆心，AD的长为半径画弧交BC于点E，则图中空白部分的面积是（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．2+
8．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，∠BAD与∠ABC的平分线AE、BF交于点P，连接PD，则tan∠ADP的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是的弦，，的延长线交于点，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
10．直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，以AD的中点O为圆心的圆与边BC相切于点E，与边AB，CD分别交于点M，N，连结OM，ON，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，A、B分别为反比例函数（x＜0），y＝（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF＝45°，则下列结论中正确的有（　　）
①BE+DF＝EF；
②tan∠AMD＝；
③BM2+DN2＝MN2；
④若EF＝1.5，△AEF的面积是3，则正方形ABCD的面积是4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE、AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
15．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，于点E，DE交AC于点F，DB交AC于点G，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．计算：的结果为______．
17．若为锐角，已知，那么______°．
18．在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为_____．
19．已知，中，是锐角，，则的度数是__________．
20．小明沿着坡度为1∶的山坡走了100m，则他升高了______米．
三、解答题
21．计算：
(1)sin60° cos30°﹣1 (2)2sin30°＋3cos60°﹣4tan45°
(3) (4)2tan60°+tan45°﹣4cos30°
22．先化简，再求值：
（1）÷（﹣a+2），其中a＝2sin60°﹣3tan45°．
（2），其中x＝2+tan30°．
23．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
24．如图，点C是直径AB上一点．过C作交于点D，连接DA，DB．
(1)求证：；
(2)连接DO，过点D做的切线，交BA的延长线于点P．若，，求BC的长．
25．如图1，反比例函数y＝的图象经过A（1，m）、B（2，1）两点，点P的坐标为（6，1）．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接PA、PB，求tan∠P的值；
(3)如图2，点C、D的坐标是（a，0）、（0，a）（0＜a≤6），当△PCD的面积为3时，求a的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：解:由图可知, =
故答案选:B
2．C
解：点C如图所示：
AO＝＝2，
cos∠A＝＝＝，
故选：C．
3．C
解：∵cos60°＝，cos45°＝，且
∴45°＜∠A＜60°．
故选C．
4．D
解：连接AD，如图所示：
∵，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴在Rt△ADB中，，
∴；
故选D．
5．A
解：四边形是矩形，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．B
解：过点A作AD⊥x轴于D，设菱形OABC的边长为x,
∵，
∴AD=OAsin∠AOC=,OD=OAcos∠AOC=，
∵菱形的面积为4，
∴OC·AD=,
∴k=xy=OD·AD=，
故选择B．
7．B
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥CB，
∵AB=1，AE=AD=2，
∴AE=2AB，
∴∠AEB=30°，
∴∠DAE=∠AEB=30°，
∴S阴==，
则图中空白部分的面积是
故选：B．
8．A
解：作于，
四边形是平行四边形，
．
．
是角平分线，
．
．
．
同理．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
，，
，，，
，
，，
．
故选：A．
9．D
解：在中，，
：：，
：：，
，
，，
由勾股定理得，，
，
，
故选：D．
10．A
解：设CE＝x，则AE＝8﹣x，
∵△ABC如图折叠，使点A与点B重合，
∴BE＝AE＝8﹣x，
Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝ ，
Rt△BCE中，
tan∠CBE＝，
故选：A．
11．D
解：如图，连接OE，
∵⊙O与边BC相切于点E，
∴BC⊥OE，
∴∠OEB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形AOEB是矩形，
∵OE＝AB＝2，
∴OM＝ON＝OE＝2，
∵AD＝2，O为AD的中点，
∴OA＝AD＝×2＝，
∴cos∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝30°，
∵∠A＝∠D＝90°，OM＝ON，OA＝OD，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴∠AOM＝∠DON＝30°，
∴∠MON＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴l＝＝π，
∴的长为π．
故选：D
12．A
解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D
则∠BDO＝∠ACO＝90°
∵A、B分别为反比例函数（x＜0），（x＞0）图象上的点
∴S△AOC＝4，S△BDO＝9
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°
∴∠DBO＝∠AOC
∴△BDO∽△OCA
∴
∴
∴
故选：A．
13．C
解： ∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠ADF=90°，∠ABC=90°，
将△ADF顺时针旋转90°得到△ABF′，
∴AF=AF′，DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∠ADF=∠ADF′=90°，
∴∠F′BE=∠ABF′+∠ABE=90°+90°=180°，
∵∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠F′AE=∠FAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠FAE，
在△AF′E和△AFE中，
，
∴△AF′E≌△AFE（SAS），
∴F′E=FE，
∴BE+DF=BE+BF′=F′E=EF，
故①正确；
∵BD为正方形的对角线，
∴∠ABM=∠FDN=45°=∠MAN，
∵∠ANM=∠DNF，
∴∠AMN=180°-∠MAN-∠ANM=180°-∠NDF-∠DNF=∠DFN，
∴tan∠AMN=tan∠DFA=，
故②正确；
将△AND顺时针旋转90°得到△ABN′，连结N′M，
∴AN=AN′，∠AND=∠ABN′=45°，DN=BN′，
∵∠N′AM=∠NAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠NAM，
在△AN′M和△ANM中，
，
∴△AN′M≌△ANM（SAS），
∴N′M=NM，
∵∠N′BM=∠ABN′+∠ABM=45°+45°=90°，
∴根据勾股定理，即，
故③正确；
∵S△AEF=S△AF′E=3，F′E=FE=1.5，
∴，即，
∴AB=4，
∴S正方形ABCD=AB2=16，
故④不正确．
故选C．
14．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAO=90°，
∴∠ADE+∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°，
∵E、F分别为AB，BC的中点，
∴AE=AB，BF=BC，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
过C作CG⊥DE于G，
∵∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠CDG=90°，
∴∠OAD=∠CDG，
在△ADO和△DCG中，
，
∴△ADO≌△DCG(AAS)，
∴AO=DG，
∵，
∴DO=2AO=2DG，
∴DG=OG，
∴CG为DO的垂直平分线，
∴OC=DC=1，
故选：B．
15．C
解：连接AD，BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=90°，
又∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D是的中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，
又∵∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FD=FG，
∴FA=FD=FG，
∵在Rt△AEF中，，
∴设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，AG=10k，DE=8k，
在Rt△ADE中，，
∵AB是直径，
∴∠ADG=∠GCB=90°，
∵∠AGD=∠CGB，
∴cos∠CGB=cos∠AGD，
∴，
在Rt△ADG中，，
∴，
故选：C．
16．
解：原式
，
故答案为：．
17．60
解：由为锐角，且，那么等于，
故填：60．
18．1或##或1
解：（1）如图①所示，
BC＝2AB，PC＝AB，
∴P是BC的中点，即BP＝PC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴tan∠APB＝＝1；
（2）如图②所示，
∵BC＝2AB．PC＝AB，
∴BP＝3AB，
∴tan∠APB＝＝．
综上所述∠APB的正切值为1或．
故答案为1或．
19．
解：∵中，是锐角，，
∴∠A=30°．
故答案为30°．
20．50
解：设升高了xm，根据坡比为1：，则可得水平距离为xm，
∴由勾股定理得x2+（x）2=1002，
解得x=50，x=-50(舍去)，
故答案为50．
21．(1) (2) (3) (4)1
(1)
解：原式=
=
=；
(2)
原式=
=
=
(3)
解：
=
=
=
(4)
解：2tan60°+tan45°﹣4cos30°
=
=
=1
22．（1） （2）；
（1）解：原式＝
∵a＝2sin60°－3tan45°
∴a＝，
∴ 原式
（2）解：
原式
23．∠C＝90°．
解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
24．(1)见详解；
(2)240．
(1)
证明：∵为的直径
∴，
∵
∴
∴
(2)
解：∵为的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，，则
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
25．(1)y＝
(2)
(3)1或6
(1)
∵反比例函数y＝的图象经过B（2，1）点，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝；
(2)
∵反比例函数y＝的图象经过A（1，m）、
∴m＝2，
∴A（1，2），
过点A作BP的垂线，交PB的延长线于点M，
则AM＝2﹣1＝1，MP＝6﹣1＝5，
在Rt△PAM中，tan∠APB＝＝；
(3)
过点P作PN⊥x轴，垂足为N，
∵S△PCD＝S梯形PNOD﹣S△COD﹣S△PCN，
∴（1+a）×6﹣a2﹣（6﹣a）×1＝3，
解得a1＝1，a2＝6，
答：a的值为1或6．
答案第1页，共2页