19.2.3 正方形
一、教学目的
【知识与能力】
掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.
【过程与方法】
1、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
2、 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育.
提高学生的逻辑思维能力.
【情感态度与价值观】
理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、教学过程
（二）探究正方形的性质：
（1）实验与观察
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
转动菱形框架
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
（2）总结正方形的性质
（3）跟踪练习
（4）研究正方形的对称性
（二）探究正方形的判定方法：
（1）判定方法
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形。
矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）辨一辨
（三）范例精讲
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
例2、如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
（四）应用探究
如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图
中AE与BF的关系。
变式探究：见幻灯片
（四）课堂小结
（五）课堂检测
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
2．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
（六）课后延伸
1、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD 延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
2、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
课件26张PPT。正方形矩形实验与观察一：折叠矩形纸片正方形实验与观察二：转动菱形模型九年制义务教育八年级：19.2.3正方形1． 正方形的定义 由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
小结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 正方形性质:
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线： 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.说一说平行四边形矩形菱形正方形正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.选一选2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.BD
1.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= ,
正方形的面积S=______.
练一练2290046362.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，
面积S=________.则边长AB＝______,
轴对称图形
4条对称轴轴对称图形
2条对称轴轴对称图形
2条对称轴轴对称性(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义法有一个角是直角的菱形是正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。如何判定一个图形是正方形呢？满足下列条件的四边形是不是正方形：1、对角线互相垂直且相等的平行四 边形；
2、对角线互相垂直的矩形；
3、对角线相等的菱形；
4、对角线互相垂直平分且相等的四 边形。有一个直角一组邻边相等一组邻边相等有一个直角请在下图中填上各种图形名称和转化条件:有一组邻边相等且有一个角是直角
两组对边
分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形 下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形.
（2）四条边都相等的四边形是正方形.
（3）对角线相等的菱形是正方形.
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形.
（6）四边相等,有一角是直角的四边形是正方形.
(7) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
(8)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴.辩一辩错误错误正确正确
正确错误
正确
错误
范例精讲 ．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD
相
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO 交于点O。
例1
求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图
中AE与BF的关系。应用探究 如图，在正方形ABCD中
如图（1）AE⊥BF ，AE与BF相等吗？
FABCDEGGABCDEFHABCDEFGHM变式探究B.A.C.（1）（2）（3）如图（2）AE⊥HF ，AE与HF相等吗？如图（3）ME⊥HF ， ME与HF相等吗？2.探索了判别一个平行四边形是矩形的一般思路:平行四边形矩形菱形正方形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角且有一组邻边相等1.探索了正方形的性质，会利用相关知识解决有关问题.课堂小结1. 下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形（ ）√√√×× 2. 正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线______________________ .相等相等相等且互相垂直3. 从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?4. 怎样使菱形的衣帽架变成正方形的?5. 怎样检验买来的方巾是否是正方形？ 2．已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。 3．已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6 cm，如图
求：正方形的面积S。
4. 已知：如图，四边形ABCD为正
方形，E、F分别为CD、CB延长线
上的点，且DE=BF。
求证：∠AFE=∠AEF。5. 已知：E为正方形ABCD内一 点，且△EBC是等边 三角形，
求：∠EAD与∠ECD的度数。 1、 已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD 延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45° 课后延伸2．如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
19.2.3正方形练习题
一、选择题
1. 下列说法错误的是（ ）
Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形 Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形
Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ． 两条对角线垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
3.已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
4.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD
C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC，OB=OD，AB=BC
5. 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（ ）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
6.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交
于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
A.平行四边形 B、矩形 C、菱形 D. 正方形
7. 用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．其中一定能拼成的图形是（ ）．
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
8．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
9．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
二、填空题
10.能使平行四边形为正方形的两个条件是 ________ _________
___________________________________________________________ ．（最少填三组）
11．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
三、解答题
12．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
13．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
16．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
9.如图，在ABC中∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC,垂足分别为E、F，
求证：四边形CFDE为正方形
17. 如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。
18.如图，已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.
求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形.
19、如图，正方形ABCD中，△EBC是正三角形，求∠EAD的度数。
20、如图，正方形ABCD中，G是CD上一点，以CG为边做正方形GFEC，
求证：BG=DE
21、如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BG⊥CE于G交AD于F，
求证：CE=BF。
22、分别以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE。
23、如图，平行四边形ABCD中，△ABE、△BCF是以AB、BC为边的等边三角形，
求证：△DEF是等边三角形。
24、如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，
求证：EF∥DC。
25、如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于O，DE平分∠ADB，CN⊥DE于N，
求证：OF=AG。
26、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
AE与BF相等吗？为什么？
AE与BF是否垂直？说明你的理由。
27、如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。
28、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。
