浙江省杭州市下城区启正中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷（Word版含答案）

2021-2022学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（下）开学数学试卷
一.选择题（共10小题）
1．下列事件为必然事件的是（　　）
A．明天要下雨
B．a是实数，|a|≥0
C．﹣3＜﹣4
D．打开电视机，正在播放新闻
2．若2a＝3b，则（　　）
A． B． C． D．
3．下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（　　）
A．3 B．1 C．1 D．2
8．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点的纵坐标小于4
B．对称轴在直线x＝0.5左侧
C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2
D．抛物线一定经过两个定点
10．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　）
①；
②△ABE与△DCE的周长比；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE．
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二.填空题（共6小题）
11．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 　 　．
12．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为　 　．
13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是　 　．
14．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 　 　．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝　 　．
16．如图，点A是抛物线yx2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，连结AC，则线段OC的长是 　 　，AC的最小值是 　 　．
三.解答题（共7小题）
17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
18．设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC，求AB的长．
21．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
23．已知，如图，⊙O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD．
（1）求证：；
（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD．
2021-2022学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（下）开学数学试卷
答案与解析
一.选择题（共10小题）
1．下列事件为必然事件的是（　　）
A．明天要下雨
B．a是实数，|a|≥0
C．﹣3＜﹣4
D．打开电视机，正在播放新闻
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．明天要下雨，这是随机事件，故A不符合题意；
B．a是实数，|a|≥0，这是必然事件，故B符合题意；
C．﹣3＜﹣4，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．打开电视机，正在播放新闻，这是随机事件，D故不符合题意；
故选：B．
2．若2a＝3b，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质进行转化可求解．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴．
故选：A．
3．下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
4．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据正多边形的中心角计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：72°，
∴n＝5，
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，
∴cosB，
故选：D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由，根据比例的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵l1∥l2∥l3，
∴．
故选：B．
7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（　　）
A．3 B．1 C．1 D．2
【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴ACAB1，
∴BC＝AB﹣AC＝3，
故选：A．
8．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD＝CF＝1cm，根据切线长定理得出AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，求出AD+BF＝AE+BE＝AB＝10cm，即可求出答案．
【解答】解：如图，设⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝1，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点的纵坐标小于4
B．对称轴在直线x＝0.5左侧
C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2
D．抛物线一定经过两个定点
【分析】通过图象开口向下可得a＜0，可判断抛物线与y轴的交点纵坐标为4﹣2a＞0，抛物线对称轴为x0可判断A，B；令a＝﹣1，求出抛物线与x轴正半轴的交点可判断C；把抛物线解析式化为y＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，令x2﹣x﹣2＝0，求出x，即可判断D．
【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，
∴a＜0，
令x＝0，则y＝4﹣2a＞4，
∴抛物线与y轴的交点大于4，
故A错误；
二次函数的对称轴为x，
∵a＜0，
∴，
故对称轴在x＝0.5右侧，
故B错误；
取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x2+2x+6，
其与x轴正半轴的交点为：
x12，
故C错误；
y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，
令x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，y＝6，
当x＝﹣1时，y＝3，
∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个顶点，
故D正确．
故选：D．
10．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　）
①；
②△ABE与△DCE的周长比；
③∠ADE＝∠ABC；
④S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE．
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】①根据相似三角形的判定和性质即可判断；
②根据相似三角形周长的比等于相似比即可判断；
③根据∠BAC＝∠BDC，可得A，B，C，D共圆，根据已知条件可得∠ABC＝∠ACB，但这两个角不一定相等，进而可以判断；
④假设S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE．根据共高的两个三角形面积之比即可判断．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴；故①正确；
②∵△AEB∽△DEC，
∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确；
③∵∠BAC＝∠BDC，
∴A，B，C，D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，
如果∠ADE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE．
∴，
∵△ABE和△ADE共高，
∴，
∵△BCE和△DCE共高，
∴，
∴，故④正确．
∴结论中正确的是①②④，
故选：C．
二.填空题（共6小题）
11．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 　3　．
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3．
12．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为　　．
【分析】让黑球的个数除以球的总数即为摸到黑球的概率．
【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，
所以从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，
故答案为：．
13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是　π　．
【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得出24π，求出R，再根据扇形的面积公式得出l＝24π，求出l即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，
∴24π，
解得：R＝2（负数舍去），
∴l＝24π，
解得：lπ，
即它的弧长是π，
故答案为：π．
14．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 　　．
【分析】由于二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，因此当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所有x1+x2＝0，C（x3，a）在反比例函数的图象上，当y＝a时，x3，因此ω＝x1+x2+x3．
【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，
∵二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，
∴当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所以x1+x2＝0，
∵C（x3，a）在反比例函数的图象上，
∴当y＝a时，x3，
因此ω＝x1+x2+x3．
故答案为：．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝　　．
【分析】在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH，根据等腰直角三角形的性质得到AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，等量代换得到∠OCH＝∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE＝OH，∠BOE＝∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，
∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，
∵AC＝BC＝3，CD＝1，
∴BD，
∴△CDH∽△BDC，
∴，
∴CH，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，
∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，
在△CHO与△BEO中，，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH＝90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH＝BD﹣DH﹣CH，
∴OH＝EH，
故答案为：．
16．如图，点A是抛物线yx2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，连结AC，则线段OC的长是 　8　，AC的最小值是 　4　．
【分析】设点A（a，a2），则点B坐标为（a，0），通过求证△AOB∽△BCO可得CO长度，由AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2可得AC2与a的函数关系式，将函数关系式化为顶点式求解．
【解答】解：设点A（a，a2），则点B坐标为（a，0），
∴OB＝|a|，ABa2，
∵∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠AOB＝∠BCO，
∴△AOB∽△BCO，
∴，
∴OB2＝CO AB，即a2a2 CO，
解得CO＝8，
∴C（0，8），
∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2a4﹣2a2+64（a4﹣64a2）+64（a2﹣32）2+48，
∴当a2＝32时，AC2＝48为最小值，即AC＝4．
故答案为：8，4．
三.解答题（共7小题）
17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，
∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
18．设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
【分析】（1）根据表格中对称点（0，﹣3），（2，﹣3）可求图象对称轴，由图象对称轴左侧的y随x增大而减小可得抛物线开口向上；
（2）根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上；、
（2）∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5；
（3）∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2．
19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
【分析】（1）证出∠BAD＝∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB．
20．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1＝∠2，等量代换得到∠2＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD，根据切割线定理得到CD2＝AD DE，根据勾股定理得到CE，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC，
∵∠ADC＝90°，
∴CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝AD DE，
∴DE＝1，
∴CE，
∵C为的中点，
∴BC＝CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB3．
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴，
∴AB＝3．
21．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，则ME＝BE，AM＝GH，而四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDN＝2S矩形MEFN，即可证明；
（2）设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴．
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴BE＝10x＞0，
解得x，
∴（0＜x）．
22．已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
【分析】（1）令y＝1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；
（2）求得函数的对称轴是直线x＝﹣b，然后分成﹣b≤﹣2，﹣2＜﹣b＜2和﹣b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是﹣3，即可解方程求解．
【解答】解：（1）由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1（不合题意，舍去），b2．
综上：b＝3或．
23．已知，如图，⊙O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD．
（1）求证：；
（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD．
【分析】（1）圆心角、弧、弦的关系即可证明结论；
（2）结合（1）根据三角形的外角定义即可求得结果；
（3）根据题意画出图形，结合（1）根据直角三角形两个锐角互余即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴∠A＝∠D，
∴∠A∠AEC＝40°；
（3）解：如图，
∵∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∵AE＝2BE，
∴DE＝2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠A+∠ABH＝90°，∠D+∠DGH＝90°，
∵∠A＝∠D，∠DGH＝∠BGE，
∴∠ABH＝∠BGE，
∴BE＝EG，
∵DE＝EG+GD＝2BE，
∴EG＝GD．