2021-2022学年人教版数学九年级下册28.2.1解直角三角形课后提升（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版数学九年级下册28.2.1解直角三角形课后提升（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 967.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-12 19:27:09 | ||
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文档简介
解直角三角形
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（ ）
A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．
2．如图，直线yx与x，y轴分别交于A，B两点，若把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，）
C．（，） D．（，）
3．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
4．如图所示，正方形ABCD中，，点E为BC中点，于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
7．如图是⊙的直径，弦，∠＝30°，＝，则阴影部分图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为.若点是上异于点的任意一点，则=（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
10．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
11．如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
14．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GFA．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
15．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为（ ）．（参考数据：，，）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为______．
17．如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是__．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，若，则tan∠MCN＝______．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
20．国家的发展离不开科技的支持与创新．小明同学是一个航天迷，在一次航空博览会中，我国第五代战机歼－31作飞行展示，如图，该飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为53°，此时飞行路线改为沿仰角为30°方向的直线AB飞行，飞机飞行了6千米到B处时，而居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米．则观礼台C和居民区D的距离是______千米．（，，，结果可保留根号）
三、解答题
21．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
22．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
(1)求S关于x的函数表达式．
(2)当时，求x的值．
23．如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DE＝，BE平分∠ABD，BE与AD交于点F．
(1)求证：BP是⊙O的切线；
(2)若tan∠DBE＝，求EF的长；
(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求⊙O的半径．
24．如图（1），已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交射线AD于点E，交线段CP于点F．
(1)如图（1），猜想∠QEP= °；
(2)如图（2），图（3），若当∠DAC是锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请选取其中一种情况加以证明；若不成立，请写出你的猜想并加以证明．
(3)如图（3），若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发以每秒个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q.再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边BC上运动时．求PQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点P在边BC上运动时．求S与t的函数关系式；
(3)取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，
∴sinA=，
∴BC=ABsinA=5sinA，
故选：A．
2．C
解：连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，如图：
在y=-x+，当x=0时，y=；当y=0时，x=1，
∴OA=1，OB=，
∴AB==2，
∴OA=AB，
∴∠OBA=30°，
∵把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，
∴∠OBC=60°，OB=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=OB=，
∴∠EOC=30°，
在Rt△COE中，
CE=OC=，OE==，
∴点C的坐标为（，），
故选：C．
3．D
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故选：D．
4．B
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
正方形ABCD
正方形ABCD中，，点E为BC中点，
设，则
解得
，
在中，
故选B
5．C
解：∵OD⊥弦BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠BOC，
∵∠A=∠BOC，
∴∠BOD=∠A=60°，
∵cos∠BOD=，
∴OD=cos60°×OB=×2=1，
故选：C．
6．B
解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°-∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°=120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝，
故选：B．
7．B
解：如图，设线段CD、AB交于点.E.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED=2.
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴， OC=2OE=4，
∴OE=BE=2，
∴
，
故选：B.
8．D
解：如图，连接OA，OB，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴2OD=OA，
在Rt△OAD中，
∵sin∠OAD=，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴=∠AOB=60°，
当点P在劣弧AB上时，=180°-60°=120°，
故选：D．
9．D
解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于
设半径为r，即OA=OB=AB=r，
OM=OA sin∠OAB=，
∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），
∴△AOB的面积为（cm2），
即，
，
解得r=4，
故选：D．
10．C
解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
11．A
解：过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am,
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故选A．
12．A
解：过点作于点，
由旋转知：，，，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
故选：．
13．A
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
14．B
解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB；
当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB，
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
15．C
解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC=AD=62，
在Rt△AEC中，，
则，
在Rt△AEB中，∠BAE=45°，
∴BE=AE=200，
∴BC=200+62=262（m），
则该建筑的高度BC为262m．
故选：C．
16．或
解：如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14，，
∴CD=，
∴BD=，
∵，
∴AD= AB-BD-=，
在Rt△ACD中，AC=，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即，
解得，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP=，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP=，
综上所述，CP的长为或．
故答案为：或．
17．##
解：延长至，使，连接，作于，
平分的周长，
，又，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
18．
解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，
∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2，
在Rt△BCM与Rt△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS）
∴MC=NC，
在Rt△BMC中，CM=．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2-x，
∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=（2）2-（2-x）2，
解得：x=，
∴EC=2-=，
∴ME==，
∴tan∠MCN=
故选答案为．
19．##
解：正方形ABCD中，BC=CD=8，，连接BD，交EF于点O，如图所示：
则，
在中，由勾股定理，得：，
∵EF平分正方形ABCD的面积，
∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴,
∵EF⊥BP交BP于G，
∴，
∴以OB为直径作，如上图，则点G在上，,
∴连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，
此时，,
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则，
在中，，
，
∴,
在中，由勾股定理，得：，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
20．
解：过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥AE与F，
∵AE⊥BD，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°
∵AB=6，，∠BAE=30°，
∴BE=千米，AE=ABcos30°=千米，
∴ED=BD-BE=5-3=2千米，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC=∠D=90°，
∴四边形CFED为矩形，
∴CF=DE=2，EF=CD，
在Rt△ACF中，=，
∴CD=EF=AE-AF=千米．
故答案为：．
21．(1)；
(2)
(1)
∵，CD是上的中线，
∴．
∴．
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠DCB
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAE=90°，
即 ⊥
∵AH=2CH，
设，则，
∴sin∠CAE=
∴sinB=
(2)
∵，CD是上的中线，CD=，
∴AB=
在Rt△ABC中，
∵sinB=
∴AC=2
∴BC=4
在Rt△ACH中，
∵tan∠CAE=，
∴CE=1
∴BE=3
22．(1)
(2)
(1)
解：在正三角形ABC中，线段BE为x，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴．
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴DE＝GF，∠BED＝∠CFG＝90°，
∴．
∴BE＝CF＝x．
∵△ABC的边长为4，
∴．
∴．
(2)
当时，得．
解得．
∵，
∴．
23．(1)见解析 (2) (3)
(1)
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90，
∴∠DAB+∠ABD＝90，
∵∠BED＝∠DAB，∠PBD＝∠BED，
∴∠DAB＝∠PBD，
∴∠PBD+∠ABD＝90，
∴∠ABP＝90，
∴AB⊥PB，
∴BP是⊙O的切线；
(2)
解：连接AE，
∵AB是直径
∴∠AEB＝90，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴，
∴AE＝DE＝，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAE，
∴，
∴＝，
∴EF＝；
(3)
解：连接OE，
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠OEB，
∵∠ABE=∠DBE，
∴∠DBE=∠OEB，
∴
∴，
∵CA=AO，
设CA=AO=BO=R，
∴，
即，
∴CE=2，
∴DC= CE +DE=3，
∵∠ADC=∠ABE，∠C=∠C，
∴，
∴，
∴，
∴R=，
∴⊙O的半径为．
24．(1)60
(2)（1）中的猜想成立，证明见解析
(3)BQ的长为2-2．
(1)
猜想：∠QEP=60°；
证明：如图1，EQ与PC相交于M点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，且∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∴∠BCQ+∠PCB=∠PCA+∠PCB=60°，
∴∠BCQ=∠PCA，
则△CQB和△CPA中，，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；
(2)
解：（1）中的猜想成立，即∠QEP=60°．
以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)
解：作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=∠CAH=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=AC=×4=2，
在Rt△PHC中，PH=CH=2，
∴PA=PH-AH=2-2，
∴BQ= PA=2-2．
25．(1)t
(2)S＝
(3)s或5s
(1)
解：由已知得BP＝t，
在Rt△BPQ中，∠BPQ＝90°，∠B＝30°，
∴PQ＝BP tan30°＝t；
∴PQ的长为t；
(2)
解：①当0＜t≤2时，如图：
重叠部分是△PQM，
由（1）知PQ＝t，即等边△PQM边长为t，
∴S＝t2；
②当2＜t＜3时，如图：
重叠部分是四边形PQFE，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴BC＝=3，
∴PC＝BC﹣BP＝3﹣t，
∵∠EPC＝∠QPC﹣∠QPM＝30°，
∴PE＝＝＝6﹣2t，∠PEC=90 -∠EPC=60 =∠FEM，
∴EM＝PM﹣PE＝PQ﹣PE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6，
∵∠M＝60°，
∴△EMF是等边三角形，且边长是3t﹣6，
∴S＝S△PQM﹣S△EFM＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣2t2+9t﹣9，
综上所述，S＝；
(3)
①P在BC上，当点M落在中线CK上时，如图：
此时Q与K重合，由K为AB中点知P是BC中点，
∴BP＝BC，即，
解得t＝；
②P在AC上，当点M落在中线CK上时，如图：
由已知得t＝3时，P运动到C，
∴CP＝1×（t﹣3）＝t﹣3，AP＝AC﹣CP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∵∠APQ＝90°，∠A＝60°，
∴PQ＝AP＝，∠CPM＝90°﹣60°＝30°，
∴PM＝CP cos∠CPM＝（t﹣3），
而PM＝PQ，
∴（t﹣3）＝，
解得t＝5，
综上所述，t的值是s或5s．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（ ）
A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．
2．如图，直线yx与x，y轴分别交于A，B两点，若把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，）
C．（，） D．（，）
3．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
4．如图所示，正方形ABCD中，，点E为BC中点，于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
7．如图是⊙的直径，弦，∠＝30°，＝，则阴影部分图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为.若点是上异于点的任意一点，则=（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
10．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
11．如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
14．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF
15．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为（ ）．（参考数据：，，）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为______．
17．如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是__．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，若，则tan∠MCN＝______．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
20．国家的发展离不开科技的支持与创新．小明同学是一个航天迷，在一次航空博览会中，我国第五代战机歼－31作飞行展示，如图，该飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为53°，此时飞行路线改为沿仰角为30°方向的直线AB飞行，飞机飞行了6千米到B处时，而居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米．则观礼台C和居民区D的距离是______千米．（，，，结果可保留根号）
三、解答题
21．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
22．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
(1)求S关于x的函数表达式．
(2)当时，求x的值．
23．如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DE＝，BE平分∠ABD，BE与AD交于点F．
(1)求证：BP是⊙O的切线；
(2)若tan∠DBE＝，求EF的长；
(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求⊙O的半径．
24．如图（1），已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交射线AD于点E，交线段CP于点F．
(1)如图（1），猜想∠QEP= °；
(2)如图（2），图（3），若当∠DAC是锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请选取其中一种情况加以证明；若不成立，请写出你的猜想并加以证明．
(3)如图（3），若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发以每秒个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q.再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边BC上运动时．求PQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点P在边BC上运动时．求S与t的函数关系式；
(3)取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，
∴sinA=，
∴BC=ABsinA=5sinA，
故选：A．
2．C
解：连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，如图：
在y=-x+，当x=0时，y=；当y=0时，x=1，
∴OA=1，OB=，
∴AB==2，
∴OA=AB，
∴∠OBA=30°，
∵把△AOB沿直线AB翻折，点O落在C处，
∴∠OBC=60°，OB=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=OB=，
∴∠EOC=30°，
在Rt△COE中，
CE=OC=，OE==，
∴点C的坐标为（，），
故选：C．
3．D
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故选：D．
4．B
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
正方形ABCD
正方形ABCD中，，点E为BC中点，
设，则
解得
，
在中，
故选B
5．C
解：∵OD⊥弦BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠BOC，
∵∠A=∠BOC，
∴∠BOD=∠A=60°，
∵cos∠BOD=，
∴OD=cos60°×OB=×2=1，
故选：C．
6．B
解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°-∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°=120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝，
故选：B．
7．B
解：如图，设线段CD、AB交于点.E.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED=2.
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴， OC=2OE=4，
∴OE=BE=2，
∴
，
故选：B.
8．D
解：如图，连接OA，OB，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴2OD=OA，
在Rt△OAD中，
∵sin∠OAD=，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴=∠AOB=60°，
当点P在劣弧AB上时，=180°-60°=120°，
故选：D．
9．D
解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于
设半径为r，即OA=OB=AB=r，
OM=OA sin∠OAB=，
∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），
∴△AOB的面积为（cm2），
即，
，
解得r=4，
故选：D．
10．C
解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=(km)，
故选择：C．
11．A
解：过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am,
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故选A．
12．A
解：过点作于点，
由旋转知：，，，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
故选：．
13．A
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
14．B
解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB；
当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB，
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
15．C
解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC=AD=62，
在Rt△AEC中，，
则，
在Rt△AEB中，∠BAE=45°，
∴BE=AE=200，
∴BC=200+62=262（m），
则该建筑的高度BC为262m．
故选：C．
16．或
解：如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14，，
∴CD=，
∴BD=，
∵，
∴AD= AB-BD-=，
在Rt△ACD中，AC=，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即，
解得，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP=，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP=，
综上所述，CP的长为或．
故答案为：或．
17．##
解：延长至，使，连接，作于，
平分的周长，
，又，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
18．
解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，
∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2，
在Rt△BCM与Rt△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS）
∴MC=NC，
在Rt△BMC中，CM=．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2-x，
∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=（2）2-（2-x）2，
解得：x=，
∴EC=2-=，
∴ME==，
∴tan∠MCN=
故选答案为．
19．##
解：正方形ABCD中，BC=CD=8，，连接BD，交EF于点O，如图所示：
则，
在中，由勾股定理，得：，
∵EF平分正方形ABCD的面积，
∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴,
∵EF⊥BP交BP于G，
∴，
∴以OB为直径作，如上图，则点G在上，,
∴连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，
此时，,
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则，
在中，，
，
∴,
在中，由勾股定理，得：，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
20．
解：过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥AE与F，
∵AE⊥BD，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°
∵AB=6，，∠BAE=30°，
∴BE=千米，AE=ABcos30°=千米，
∴ED=BD-BE=5-3=2千米，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC=∠D=90°，
∴四边形CFED为矩形，
∴CF=DE=2，EF=CD，
在Rt△ACF中，=，
∴CD=EF=AE-AF=千米．
故答案为：．
21．(1)；
(2)
(1)
∵，CD是上的中线，
∴．
∴．
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠DCB
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAE=90°，
即 ⊥
∵AH=2CH，
设，则，
∴sin∠CAE=
∴sinB=
(2)
∵，CD是上的中线，CD=，
∴AB=
在Rt△ABC中，
∵sinB=
∴AC=2
∴BC=4
在Rt△ACH中，
∵tan∠CAE=，
∴CE=1
∴BE=3
22．(1)
(2)
(1)
解：在正三角形ABC中，线段BE为x，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴．
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴DE＝GF，∠BED＝∠CFG＝90°，
∴．
∴BE＝CF＝x．
∵△ABC的边长为4，
∴．
∴．
(2)
当时，得．
解得．
∵，
∴．
23．(1)见解析 (2) (3)
(1)
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90，
∴∠DAB+∠ABD＝90，
∵∠BED＝∠DAB，∠PBD＝∠BED，
∴∠DAB＝∠PBD，
∴∠PBD+∠ABD＝90，
∴∠ABP＝90，
∴AB⊥PB，
∴BP是⊙O的切线；
(2)
解：连接AE，
∵AB是直径
∴∠AEB＝90，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴，
∴AE＝DE＝，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAE，
∴，
∴＝，
∴EF＝；
(3)
解：连接OE，
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠OEB，
∵∠ABE=∠DBE，
∴∠DBE=∠OEB，
∴
∴，
∵CA=AO，
设CA=AO=BO=R，
∴，
即，
∴CE=2，
∴DC= CE +DE=3，
∵∠ADC=∠ABE，∠C=∠C，
∴，
∴，
∴，
∴R=，
∴⊙O的半径为．
24．(1)60
(2)（1）中的猜想成立，证明见解析
(3)BQ的长为2-2．
(1)
猜想：∠QEP=60°；
证明：如图1，EQ与PC相交于M点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，且∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∴∠BCQ+∠PCB=∠PCA+∠PCB=60°，
∴∠BCQ=∠PCA，
则△CQB和△CPA中，，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；
(2)
解：（1）中的猜想成立，即∠QEP=60°．
以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)
解：作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=∠CAH=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=AC=×4=2，
在Rt△PHC中，PH=CH=2，
∴PA=PH-AH=2-2，
∴BQ= PA=2-2．
25．(1)t
(2)S＝
(3)s或5s
(1)
解：由已知得BP＝t，
在Rt△BPQ中，∠BPQ＝90°，∠B＝30°，
∴PQ＝BP tan30°＝t；
∴PQ的长为t；
(2)
解：①当0＜t≤2时，如图：
重叠部分是△PQM，
由（1）知PQ＝t，即等边△PQM边长为t，
∴S＝t2；
②当2＜t＜3时，如图：
重叠部分是四边形PQFE，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴BC＝=3，
∴PC＝BC﹣BP＝3﹣t，
∵∠EPC＝∠QPC﹣∠QPM＝30°，
∴PE＝＝＝6﹣2t，∠PEC=90 -∠EPC=60 =∠FEM，
∴EM＝PM﹣PE＝PQ﹣PE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6，
∵∠M＝60°，
∴△EMF是等边三角形，且边长是3t﹣6，
∴S＝S△PQM﹣S△EFM＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣2t2+9t﹣9，
综上所述，S＝；
(3)
①P在BC上，当点M落在中线CK上时，如图：
此时Q与K重合，由K为AB中点知P是BC中点，
∴BP＝BC，即，
解得t＝；
②P在AC上，当点M落在中线CK上时，如图：
由已知得t＝3时，P运动到C，
∴CP＝1×（t﹣3）＝t﹣3，AP＝AC﹣CP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∵∠APQ＝90°，∠A＝60°，
∴PQ＝AP＝，∠CPM＝90°﹣60°＝30°，
∴PM＝CP cos∠CPM＝（t﹣3），
而PM＝PQ，
∴（t﹣3）＝，
解得t＝5，
综上所述，t的值是s或5s．
答案第1页，共2页