浙江省舟山市普陀中学2021-2022学年度3月高三数学月考卷(WORD含答案）

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浙江省舟山市普陀中学2021-2022学年度3月高三数学月考卷
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径
第I卷（选择题）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．矩形中，，是线段上的点，将沿折起，得到，使得平面平面，则当，与平面所成角相等时，的长度等于（ ）
A． B． C． D．
5．圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在三角形中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.
12．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式展开式中含项的系数是 ．
13．将个，个，个填入如图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有___________种.（用数字回答）
14．已知单位向量与，满足，则与的夹角为__________；若向量满足，则的取值范围是__________．
15．已知在数列中，且，设，，则________，数列前n项和________．
16．若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________.
17．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为：
（1）求∠C的的大小；
（2）若c=2，求的取值范围
19．（15分）如图所示，是圆锥的一部分，是底面圆的圆心，，是弧上一动点（不与、重合），满足．是的中点，．
(1)若平面，求的值；
(2)若四棱锥的体积大于，求三棱锥体积的取值范围．
20．（15分）已知数列的前项和为，且.
(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；
(2)设数列满足，记的前项和为，若，求正整数的值.
21．（15）已知抛物线：的焦点到直线：的距离等于.
（1）求抛物线的方程及准线方程；
（2）设是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为 ，求面积的最小值.
22．（15分）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D B D C D B
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11． 12．-192 13． 14． ； [1，2].
15． 16． 17．
18．（1）∠C=30°；（2）（4，16+]．
（1）∵tan（A+B）=tan（=-tanC
tan（A+B）=
∴-tanC=
∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
又有=,
∴=，∵0＜∠C＜
故∠C=;
（2）∵，，
∴4==≥
∴≤16+
当且仅当a=b时取等号
又因为＞4
所以综上取值范围是（4,16+]
19．(1) (2)
(1)解：取的中点，连接，为的中点，则，
平面，平面，则平面，
由题设，当平面时，因为，所以，平面平面，
平面，则平面，
因为平面，平面平面，则，
所以，，，
在中，由正弦定理可得，故.
(2)解：四棱锥的体积，其中表示四边形的面积，
则
，
所以，，可得，
，则，故，解得.
设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由于是的中点，则
.
20．(1)，证明见解析 (2)k=4
(1)令，有，得，
由，有，
两式相减有，
化简整理得，
又，，
所以，
所以数列是一个常数列.
(2)由（1）可得，所以，
所以，
所以，
所以有不等式，
故，故，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故满足不等式的.
21．（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）最小值为.
（1）由题意知抛物线的焦点，
∴，∴，
∵，∴，
∴抛物线的方程为，准线方程为.
（2）设，，，则切线的方程为，
同理切线的方程为，
分别代入点可得，
直线的方程为：.
由，消去x得，
所以，
∴，
点到直线的距离为，
∴，
，
而，
∴.
当且仅当，即时，的最小值为.
22．(1)极小值为，无极大值；(2)；(3).
(1)当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
(2)，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，则在上无零点，不合题意；
当，即时，在上有唯一零点，满足题意；
当，即时，由得：，
在上有唯一零点，此时需，即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
即实数的取值范围为.
(3)若对恒成立，即对恒成立，则，
令，则，
令，则，在上单调递增，
，，，使得，
即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，，
，整数的最大值为.
答案第1页，共2页