2021-2022学年苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形 单元同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《第9章中心对称图形—平行四边形》
单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（　　）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
2．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（　　）
A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
3．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）
A． B． C． D．7
4．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则 ABCD的面积是（　　）
A．30 B．36 C．54 D．72
6．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：
①AF＝FH；
②∠HAE＝45°；
③BD＝2FG；
④△CEH的周长为8．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝　 　．
10．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．
11．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝　 　°．
13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A＝80°，则∠DGF的度数为　 　．
14．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　 　．
15．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3＝10，则S＝　 　．
16．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
20．已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；
（1）求证：BH＝AB；
（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．
21．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
2．解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，
（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；
（2）为菱形，有两个角为60°；
（3）为等腰梯形．
故选：D．
3．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，
∴AB＝4，
由勾股定理知 AF＝＝，
故选：B．
4．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为；
故选：C．
5．解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则四边形ADEM是平行四边形，
∴DE＝AM＝9，ME＝AD＝10，
又由题意可得，BM＝BC＝AD＝5，则BE＝15，
在△BDE中，∵BD2+DE2＝144+81＝225＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠BDE＝90°，
过D作DF⊥BE于F，
则DF＝＝，
∴S ABCD＝BC FD＝10×＝72．
故选：D．
6．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC＝OD＝×2a＝a，
∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝a，
由勾股定理得，CE＝＝＝a，
∴四边形OCED的面积＝a a+ （a） （a）＝×（）2，
解得a2＝1，
所以，正方形ABCD的面积＝（2a）2＝4a2＝4×1＝4．
故选：B．
或把△ODE绕O顺时针旋转90度到△OCM，再证明一下C、E、M三点共线，之后易得△OEM为等腰直角三角形，就可以算出EM，设DE＝x，则CM＝x，CE＝根号3x，然后列方程，可以得到DE，继而得到DE．
7．解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
8．解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS）．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF＝90°，
∴∠LHC+∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
②∵FH⊥AE，FH＝AF，
∴∠HAE＝45°．
③连接AC交BD于点O，如图2，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO+∠GFH＝∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH（ASA）．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图3，则：LI＝HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠DIC＝∠AED，
∵ED⊥AM，AD＝DM，
∴EA＝EM，
∴∠AED＝∠MED，
∴∠DIC＝∠DEM，
∴∠CIM＝∠CEM，
∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，
∴△MEC≌△CIM（AAS），可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝8．
∴△CEH的周长为8．
故①②③④结论都正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OB＝OC，OB＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵∠1＝15°，
∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠AOB＝30°+30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴∠OEB＝∠EOB，
∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°，
∴∠OEB＝75°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°，
故答案为：30°．
10．解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，
故答案为：8．
11．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
12．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△ACD是等边三角形
∵CE⊥AD
∴∠ACE＝∠ACD＝30°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°
∵CE＝BC
∴∠E＝∠CBE＝45°
∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°
故答案为：105°
13．解：如图，延长AD、EF相交于点H，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H＝∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF＝FH，
∵EG⊥AD，
∴GF＝FH，
∴∠DGF＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE＝CF，
在△CEF中，∠CEF＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠DGF＝∠H＝∠CEF＝50°．
故答案为：50°．
14．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB＝S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16．
故答案为：16．
15．解：根据正三角形的性质，∠ABC＝∠HFG＝∠DCE＝60°，
∴AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴BF＝MF＝AC＝BC，CP＝PF＝AB＝BC
∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，
∴S1＝S，S3＝2S，
∵S1+S3＝10，
∴S+2S＝10，
∴S＝4．
故答案为：4．
16．解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8＝27＝128．
故答案为128．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
18．证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝，
∵，
∴AH＝，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH＝．
法二：连接ED交AC于O，
由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．
．
计算得5EF＝6×4，
EF＝．
19．（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG＝EH，
∵AH＝2，DG＝2，
∴DG＝AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG＝∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连接GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG＝∠QGE，即∠AEH+∠HEG＝∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH＝QF＝2，
∵DG＝6，CD＝8，
∴CG＝2，
∴△FCG的面积＝CG FQ＝×2×2＝2．
20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠C＝∠EBH，∠CDE＝∠H，
又∵E是CB的中点，
∴CE＝BE，
在△CDE和△BHE中
，
∴△CDE≌△BHE，
∴BH＝DC，
∴BH＝AB．
（2）∠G＝∠H，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADF＝∠G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝AB，∠A＝∠C，
∵E、F分别是CB、AB的中点，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CDE中
，
∴△ADF≌△CDE，
∴∠CDE＝∠ADF，
∴∠H＝∠G．
21．解：（1）当点P在线段AO上时，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP＝DP，
∵PB＝PE，
∴PE＝PD，
过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，
∵PB＝PE，PN⊥BE，
∴BN＝NE，
∵BN＝DM，
∴DM＝NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
∵PD＝PE，NE＝DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM＝∠EPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠DPE＝90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∵PA＝PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB＝PD，
又∵PB＝PE，
∴PE＝PD．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP＝∠ADP，
∴∠CDP＝∠CBP，
∵BP＝PE，
∴∠CBP＝∠PEC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii），PE⊥PD；
（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．