2021-2022学年青岛版八年级数学下册6.3特殊的平行四边形 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学下册《6-3特殊的平行四边形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在菱形ABCD中，若∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF，则∠AEC+∠AFC的度数等于（　　）
A．120° B．140° C．160° D．180°
2．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
4．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
二．填空题
7．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为 　 　．
8．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　 　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠AOD＝120°，AB＝2，那么BC的长为　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　 　．（填上你认为正确的一个答案即可）
11．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
三．解答题
12．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，请猜想，CE和CF的大小有什么关系？并证明你的猜想．
13．如图，在 ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证：四边形DEBF是菱形．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
15．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分∠BAC的外角，且∠AEB＝90°．求证：四边形ADBE是矩形．
17．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，，连接DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形；
（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．
18．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
19．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
20．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AC＝AB＝BC＝CD＝AD，
∵BE＝AF，
∴AE＝DF，
∵∠B＝60°，AC是对角线，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠D＝60°，
∴△ACE≌△CDF，
∴EC＝FC．∠ACE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠ACF＝60°，
∴∠ACE+∠ACF＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
故可得出∠ECF＝60°，又∠EAF＝120°，
∴∠AEC+∠AFC＝360°﹣（60°+120°）＝180°．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
3．解：如图，连接AP．
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
4．解：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°，
∴AE＝AB＝AD，
在三角形AED中，AE＝AD，∠DAE＝80°，
∴∠ADE＝50°，
又∵∠B＝80°，
∴∠ADC＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
故选：C．
5．解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），
∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，
∴BC＝9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE＝OC＝OE＝2，
∴O′E′＝O′C′＝2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，
∴E′O′∥AC，
∴BO′＝3，
∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
方法二：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．
∴，
∴，
∴，
∵∠ACB＝90°，边BC在x轴上，∴C点的坐标为（﹣2，0），
∴正方形OCDE的边长为2，
∴E（0，2），设点E沿x轴平移后落在AB边上的坐标为（a，2），
由y＝﹣得，2＝﹣a+，
∴a＝4，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
故选：B．
6．解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
二．填空题
7．解：∵菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD＝×6×8＝24．
故答案为：24．
8．解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝FAD，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理ED＝CD，
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
故答案为：AC⊥EF．
9．解：
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO＝OC＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO＝OB＝OC＝AB＝2，
∴AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝2，
故答案为：2．
10．解：添加的条件是∠A＝90°，
理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
11．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
三．解答题
12．解：CE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝BC．
∴∠A＝∠CBE，∠A＝∠FDC．
∴∠CBE＝∠FDC．
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
在△CDF和△CBE中，
∴△CDF≌△CBE（AAS）．
∴CE＝CF．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥DB，AD∥CG，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵∠G＝90°，
∴平行四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，又E为边AB的中点，
∴ED＝EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
14．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
15．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．
16．证明：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴四边形ADBE是矩形．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵对角线AC，BD交于点O，
∴点O是BD的中点，
∵四边形ACED是矩形，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD，
∴OE＝5，
18．证明；（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠1＝∠EAD+∠AED，∠DAC＝∠EAD+∠AED，
∴∠1＝∠DAC，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，DB＝2DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
20．解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC