2021-2022学年青岛版八年级数学下册6.4三角形的中位线定理 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学下册《6-4三角形的中位线》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　）
A． B． C．1 D．
2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
3．如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn n的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
6．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
7．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　）
A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
11．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
12．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
13．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．9
14．如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题
15．如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝60°，∠B＝75°，则∠ANM＝　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为（1，2），则点A、E的坐标分别是 　 　．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若DE＝3，则AB＝　 　．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．若DE＝2，则△ABC的面积是 　 　．
19．已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　 　．
20．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4cm，则BC＝　 　cm．
21．顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是 　 　．
22．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　 　．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝　 　cm．
24．已知△ABC的周长是2，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2021个三角形周长是 　 　．
25．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　 　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 　．
三．解答题
26．如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．
（1）求立柱OC的高度；
（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．
27．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接ED，BD．若BD平分∠ABC，求证：BD⊥AC．
28．如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．
29．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
参考答案
一．选择题
1．解：取EF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴DH＝FC，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴AF＝FC，
∵AC＝4，
∴AF＝，故选：B．
2．解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，故选：A．
3．解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中，
，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝AG＝×4＝2，
故选：B．
4．解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
5．解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，
∴△A1B1C1的周长＝a，
同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，
……
则△AnBn n的周长＝a，
故选：A．
6．解：连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR，
∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，
∴线段EF的长逐渐增大．
S△ABP+S△CRP＝BC （AB+CR）．
∵CR随着点R的运动而减小，
∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
8．解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
9．解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EG＝BC，GF＝AD，
在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，
∴AD+BC＞2EF，
当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，
∴AD+BC＝2EF，
所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．
故选：B．
10．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
在Rt△BAC中，点F分别是斜边BC的中点，
则AF＝BC＝4cm，
故选：C．
11．解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
12．解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
13．解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
14．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA）
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，
∵AN＝NE，AM＝MD，
∴MN＝DE＝2，
故选：B．
二．填空题
15．解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C＝45°，
故答案为：45°．
16．解：∵点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），
∴BC＝6．
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC＝3．
又∵点D的坐标为（1，2），
∴点E的坐标为（4，2）．
设直线AB表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把点B、D的坐标分别代入，得．
解得．
故直线AB的表达式为y＝x+1．
同理，直线AC的表达为：y＝﹣2x+10．
所以．
解得．
故A（3，4）．
故答案是：（3，4）、（4，2）．
17．解：延长AC交BD的延长线于点F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD＝DF，AB＝AF，
∵DE∥AC，BD＝DF，
∴AF＝2DE＝2×3＝6，
∴AB＝6，
故答案为：6．
18．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，
∵AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC＝ AC BC＝×3×4＝6，
故答案为：6．
19．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
∴DF＝AC＝×6＝3（cm），
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
20．解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝4cm，
∴BC＝2DE＝8（cm）．
故答案为：8．
21．解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，
∵△DEF∽△ABC，
∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是．
故答案为：．
22．解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
23．解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×6＝3（cm），
故答案为：3．
24．解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∵△ABC的周长是2，
∴AB+AC+BC＝2，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝×（AB+AC+BC）＝1＝2×，
同理可得：第三个三角形的周长＝2×，
……
则第2021个三角形周长＝2×＝，
故答案为：．
25．解：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF＝BC，EG＝AC，FG＝AB，
∴EF+FG+EG＝（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半．
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64＝16．
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n﹣1＝27﹣n
故答案是：27﹣n．
三．解答题
26．解：（1）由题意得：OC∥AD，
∵点C为AB的中点，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC＝AD，
∵AD＝1米，
∴OC＝米；
（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．
当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，
所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．
27．证明：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∵AB＝2BE，
∴AB＝2DE，
∴AB＝BC，
∵点D是AC的中点，
∴BD⊥AC．
28．证明：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵F是BC的中点，
∴EF是△CDB的中位线，
∴BD＝2EF．
29．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．