高一数学新教材(2019)下学期专题练：平面向量三点共线定理及其应用（含解析）

平面向量三点共线定理及其应用
一、知识点
1. 证明三点共线的方法：
（1）共线定理：.
（2）三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量，设，则A，B，C三点共线的充要条件为.（苏教版高中数学必修第二册P17例4）
2.三点共线定理的证明
证明：充分性
如图，因为A，B， C三点共线，设，则，又由，所以，所以.
必要性
因为，且，
所以，
所以与共线.
又因为与有公共点A，所以A、B、C三点共线.
3.性质
（1）当时，点C与点P位于AB同侧，且C位于点P与AB之间；
（2）当时，点C与点P位于AB两侧；
（3）当，且时，则点P在线段AB上，当时，点P在直线AB上（线段AB外）；
（4）若C在线段AB上，且，则.
当C为中点时，
例题
【例1】：如图，在中，，在线段上，设，，，则的最小值为_______．
【解析】：，
由图可知x,y均为正数．又C,F,D三点共线，则2x+y=1，
则．
【例2】：已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且，(x，y＞0)，则3x＋y的最小值是(　　)
A. B.＋ C. D.
【解析】：设BC的中点为D，则.
因为M，G，N三点共线，所以＋＝1.
又x＞0，y＞0，所以3x＋y＝(3x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，即x＝＋时取等号，
所以3x＋y的最小值是＋.故选B.
三、练习
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝(　　)
A.　　　 B. C. D.
2．已知平面内四点A，B，C，D，若，，则的值为 ．
3．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，，AC，MN交于点P.若，则的值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A. B. C. D．
5.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图，在ΔABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC与不同的两点M、N，
若则m+n的值为__________.
7．如图，在中，是的中点，在边上，与交于点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知为的重心，为边上的中线，令，，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
9．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A. B. C. D.
11．已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
12.如图所示，，，，且，，连接BE，CD交于点F，则＝ .
13.在中，点在边的延长线上，且.
若，则点在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
14．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．9
15．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________
17．如图所示，在中，点是边上，且，点在边上，且与相交于点，设，用表示.
18. 如图，点G是ΔOAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线，设求的值.
19．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
20．如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示，并求出和的值.
21．已知分别在的边和上，且，
设.
（1）若P为线段CM的中点，用，表示；
（2）设 CM与交于点Q，求的值.
22．如图，在中，设，，又，，，向量的夹角为.
（1）用表示；
（2）若点是边的中点，直线交于点，求
【总结提升】：
利用三点共线定理在解决有关参数求值问题时，解题的关键是找到几何图形中共线的三点，构造出中以这三点为终点的三个向量，然后利用平面向量的线性运算，用其中两个不共线的向量表示另一个向量，观察是否满足定理条件中x+y=1这一条件，如满足，则说明这三点共线.
答案与解析：
1.【解析】：由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A.
2.【解析】：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋＝1，＝.
3.【解析】：因为＝，＝，
所以＝＝(＋)＝＝＋.
因为点M，N，P三点共线，所以＋＝1，则＝.故选D.
4.【解析】：如图所示，设BC的中点为E，
则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选A.
5.【解析】：因为＝m＋＝m＋，
注意到N，P，B三点共线，从而m＋＝1，所以m＝.故选B.
6.【解析】：因为，
因为M，O，N三点共线，所以，所以m+n=2.
7.【解析】：，
因为三点共线，所以，解得：
所以，即，所以，
所以．故选：C.
8.【解析】：由为的重心可得，，
因为，，所以，
因为共线，所以，则，故选：A.
9.【解析】：由题意可知：，
因为三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是12.故选D.
10.【解析】：设E是BC边的中点，则，由题意得，
所以，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，
故选B.
11.【解析】：由三点共线，得，
故解得．故选：A.
12.【解析】：由三点共线可知，，①
同理，，②
由①②，得解得.
故.所以＝.
13.【解析】：因为
所以由向量共线定理可知三点共线.
因为，所以，所以.
又因为，所以点在线段上，且不与、点重合.故选B
14.【解答】：因为点O是BC的中点，所以
又，所以
因为M、O、N三点共线，所以
故
当且仅当，即m，n时取到等号，故的最小值为：，故选：C．
15.【解析】：如下图所示：
因为，即，所以，
因为，，所以，，
所以，因为M、P、N三点共线，则.
所以，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
16.【解析】：由可得， ，根据A、B、C三点共线可得，且，所以，所以最小值为，故填.
17．【解析】：因为A、、三点共线，存在使得，同理可设，
因为，
，
所以，，解得，
所以．
18.【解】：如图，延长OG，交AB于点D，则
=，
因为所以所以，
因为P，G，Q三点共线，根据三点共线定理可知，即.
19.【解析】：（1）由，，三点共线，
可设 ，
由，，三点共线，可设 ，
所以，解得，，所以.
（2）因为，，三点共线，设 ，
由（1）知，，所以，，所以为定值.
20.【解析】：（1）因为DC=3EC,所以E是线段CD的一个三等分点（靠近C点）.
又D为AB中点，
所以，
故.
（2）设三点共线，所以存在，使.
由（1）知，.
又C，F，B三点共线，所以x+y=1，即.
所以.所以
所以，即所以所以
，
，
所以，所以．
综上，
21.【解析】：（1）,又，；
（2）因为.所以，
因为B,Q,N三点共线，所以使得，①
因为，所以，又，
因为C,Q,M三点共线，所以实数使得，且，
即，②
综合①②，得，又，解得，所以.
22.【解析】：（1）,
（2）因为A,F,D共线，所以，
因为B,F,E共线，所以，
，解得，
所以