高一数学新教材(2019)下学期专题练：平面向量数量积----垂直问题（四）（含解析）

《平面向量数量积---垂直问题》（四）
主要考查涉及平面向量的垂直问题等
知识点
1.垂直的充要条件:
2.常用性质：.
【注意】：若，虽然有，但不能说.
二、练习
1．在中，若，则的形状是______三角形.
2．已知在四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
3．已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
6.已知向量，若，则k=________.
7．已知非零向量，满足，且，若，的夹角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若向量满足：则（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．已知平面上三点A,B,C满足,,,则( )
A． B． C． D．
10．设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
11．已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020年高考全国II卷理数）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
14．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
15.已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A. B. C.6 D.
16．已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为(　 　)
A. B. C．6 D．4
17．已知向量，||＝1，对任意t∈R，恒有|t|≥||，则（　　）
A．⊥ B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）
18．已知单位向量，，且，求：
（1）向量，的夹角；
（2）；
（3）若向量与向量垂直，求实数k的值.
19．设向量的夹角为且如果
（1）证明：三点共线.
（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.
20．在平面直角坐标系中，已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
21．已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
22．已知向量与互相垂直，其中角是第三象限的角.
（1）求的值；
（2）求的值.
23．在△ABC中，，，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。
24．如图所示，点是内的一点，且.求证：.
25．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
三、答案与解析
1.【解析】：由，即，所以，三角形为直角三角形，故答案为：直角
2.【解析】：因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．
又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.
3.【解析】：设与的夹角为，由题意，得，且，
即，即，即，所以设与的夹角为．
4.【解析】：依题意,,而,即,
解得,则,故,故选：B.
5.【解析】：由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
6.【解析】：因为，，所以，且，所以，解得.
7.【解析】：由，得，即，又，
所以，解得.故选：C.
8.【解析】：由题意易知：即，所以，即.故选B.
9.【解析】：因为,,，所以，
故为直角三角形,且，所以，
所以，
故选:D.
10.【解析】：因为，所以，所以，因为，所以，所以，
所以，所以.故选：B.
11.【解析】：由，得，可得，即.
由，可得，即，
整理得，，故选：B.
12.【解析】：设与夹角为，，因为，所以
整理可得：，即，
因为，代入，可得，即，
整理可得：，
当且仅当，即取等号，故，结合，
根据余弦函数图象可知最大值：，故选：A.
13.【解析】：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.故答案为：．
14.【解析】：因为，所以，
又因为，
所以,又因为是的中点，所以,故选C.
15.【解析】:因为＝＋，且⊥，
所以有·＝(＋)·(－)＝·－2＋2－·＝(－1)·－2＋2＝0，
整理可得(－1)×3×4×cos 120°－9＋16＝0，解得＝. 故选A
16.【解析】：因为向量，，，与夹角为60°，
所以＝3×2×cos 60°＝3，
所以＝(m－n)－m＋n＝3(m－n)－9m＋4n
＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A.
17.【解答】：已知向量 ，||＝1，对任意t∈R，恒有|t|≥||
即|t|2≥||2∴，，
即，故选：C．
18.【解析】：（1）设向量的夹角为；由已知得，；
所以；所以；
所以；因为；所以.
（2）因为；所以
（3）因为向量与向量垂直，所以.
所以，解得.
19.【解析】：（1）所以
所以即共线，因为有公共点，所以A,B,D三点共线.
（2）因为，所以，
，因为且，
所以，解得
20.【解析】：（1）因为，所以，故，所以．
（2）因为与的夹角为，所以，
故，又，所以，所以，
即．故的值为．
21.【解析】：（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，所以.
（2）由得，
即.因为，，
所以，，
所以，即.所以或.
（3）由知，即，
即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，所以.
因为，由得，
化简得，所以或.经检验知不成立，故.
22.【解析】：因为,所以,即，则.
（1） ，因为是第三象限的角，所以，
所以
（2）
23.【解析】：（1）当∠A=90°时，，故2×1+3k=0，即。
（2）当∠B=90°时，，，
故2×(―1)+3(k―3)=0，。
（3）当∠C=90°时，。由（2）得。
故―1+k(k―3)=0，k2―3k―1=0，。
故当或或时，△ABC为直角三角形。
24.【解析】：由题意知.所以.
即.
所以.即.
即.即所以.
故.
25.【解析】：（1）
（2），又因为M为BO中点，
所以，所以，
（3）因为，又因为，
所以，所以，
所以