高一数学新教材(2019)下学期专题练：平面向量数量积----定义应用（一）（含解析）

《平面向量数量积----定义及图形中的应用》（一）
主要考查利用定义求向量的数量积和平面图形中数量积的运算等
一、知识点
1. 定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2.向量数量积的运算律
(1).交换律：
(2).数乘结合律：
(3).分配律：
【要点诠释】：
(1).已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
(2).在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是,显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
二、练习
题型一：直接运用公式
1．已知，，且与的夹角，则等于（ ）
A． B．6 C． D．
2．已知向量，满足，，且与的夹角为，（ ）.
A． B． C． D．
3．已知向量和的夹角为，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若，，与的夹角，则（ ）
A．1 B． C．7 D．
5．若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。
题型二：平面向量数量积的运算律
6．已知是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A． B．
C． D．若，则
7.已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B． C． D．
题型三：几何图形转化求数量积
8．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，则（ ）．
A．0 B． C． D．1
9．在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
10．在边长为的等边三角形ABC中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在边长为的正三角形ABC中，的值等于___
12.已知三角形ABC是边长为3的正三角形，点M是AB的中点，点N在AC边上，且AN=2NC，则（ ）.
A． B． C． D．
13．在三角形ABC中，，AB=AC=2，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14.如图，在梯形ABCD中，，AB=4，AD=3，CD=2，，，则（ ）．
A． B． C． D．
15．已知中，AB=3,AC=5，BC=7，若点D满足，则__________．
16．在三角形AOB中，已知，，.若点C，D满足，，则的值为____
17．已知，，与的夹角为.
(1)求的值;
(2)若k为实数，求的最小值.
答案与解析
1.【解析】：因为，，且与的夹角，所以.
故选：A.
2.【解析】：，故选：A.
3.【解析】：因为，解得.故选：D.
4.【解析】：.故选：C.
5.【解析】：因为(++)2=2+2+2+2(·+·+·)，
所以.
6.【解析】：向量数量积公式满足交换律和分配率，所以AB正确；
表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；，那么或或，故D不正确.故选：CD.
7．【解析】：A：，A正确；
B：设，则，设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
8.【解析】：．故选：A.
9.【解析】：，
所以 .故选：A
10.【解析】：
.
故选：B.
11.【解析】：因为是边长为的正三角形，
所以
12.【解析】：如下图所示：
因为是的中点，所以，
又因为，
所以，
故选：D.
13.【解析】：，
所以，故选：A.
14.【解析】：因为在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=3，CD=2，，
所以
所以
则．故选：C．
15.【解析】：因为
又因为AB=3,AC=5，BC=7，所以，
所以
16.【解析】：因为，所以D为OB的中点，从而，
所以
因为，，，所以
所以.
17.【解析】：(1)因为，，与的夹角为，，
所以.
(2)，
当时，的最小值为1，即的最小值为1.
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