高一数学新教材(2019)下学期专题练：平面向量数量积----夹角问题(三）（含解析）

《平面向量数量积----夹角问题》（三）
主要考查涉及平面向量数量积的运算中求夹角问题
一、知识点
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，也记作,θ的范围是[0，π]．
【注意】：当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a⊥b时，θ＝.对于不谈它与其它向量的夹角问题.
2.求向量夹角问题的方法
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，由cos θ＝求得；
(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝；
(3)解三角形法：把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．
二、练习
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量，满足||＝2||，且(－)⊥，则与的夹角为(　　)
A. B. C. D.
2．若非零向量，满足，则，的夹角为______.
3．若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若向量=（1，2），=（1，―1），则2+与―的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
5．，为平面向量，已知＝(2,4)，－2＝(0,8)，则，夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
6．已知平面向量，满足·(＋)＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角的正弦值为 ．
7.已知a，b都是单位向量，满足，则( )
A. B. C. D.
8．已知向量，满足·＝0，|＋|＝m||，若＋与－的夹角为，则m的值为(　　)
A．2 B. C．1 D．
9．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为____.
10.(2019·全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且·＝0，若＝2－，则cos〈，〉＝ .
11．设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12.已知向量，，，则的夹角为(　　)
A. B. C. D．
13．已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14.已知A,B,C为圆O上的三点，若，则的夹角为________．
15. 非零向量满足,,则与的夹角的最小值是 ．
16.(2017·山东卷)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60°，则实数λ的值是________.
17．已知单位向量满足.设，则向量的夹角的余弦值_____.
18．已知＝(－1,1)，＝(2m，m＋3)，当与的夹角为锐角时，则实数m的取值范围是________．
19.若向量＝(k，3)，＝(1，4)，＝(2，1)，已知2－3与的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
20.已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.
21．已知量、、满足++=0，且||=5，||=7，||=10，求、的夹角的余弦值；
22．已知向量．
（1）若，求实数x的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
23．已知，，且与夹角为，求： （1）；（2）；
（3）与的夹角.
答案与解析
1.【解析】：法一：因为(－)⊥，所以(－)·＝·－||2＝0，又因为||＝2||，
所以2||2cos〈，〉－||2＝0，即cos〈，〉＝，
又知〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝，故选B.
法二：如图，令＝，＝，则＝－＝－，因为(－)⊥，所以∠OBA＝90°，
又||＝2||，所以∠AOB＝，即〈，〉＝.故选B.
2．【解析】：由得，
因为，所以，所以， ．故答案为：．
3.【解析】：设与的夹角为.因为，所以，
所以.①，因为，所以②
由①②，解得.故选：D.
4.【解析】：2+=（3，3），－=（0，3），则cos＜2+，，
故夹角为，选C．
5.【解析】：因为＝(2,4)，－2＝(0,8)，所以＝[－(－2)]＝(1，－2)，
所以·＝2－8＝－6.设，的夹角为θ，因为·＝||||cos θ＝2×cos θ＝10cos θ，
所以10cos θ＝－6，所以cos θ＝－，故选B.
6.【解析】：因为·(＋)＝2＋·＝22＋2×1×cos〈，〉＝4＋2cos〈，〉＝3，
所以cos〈，〉＝－，又〈，〉∈[0，π]，所以sin〈，〉＝＝.
7.【解析】：因为，所以，得到.因为，，所以.故选：A.
8.【解析】：因为·＝0，所以|＋|＝|－|，因为|＋|＝m||，所以(＋)2＝m22，
所以2＋2＝m22，所以2＝(m2－1)2.
又＋与－的夹角为，所以＝cos，
所以＝＝＝－.解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.
9.【解析】：由，得，展开化简得，
又，所以即
设向量与的夹角为，则又，所以.
10.【解析】：法一：因为||＝||＝1，·＝0，所以·＝·(2－)＝22－·＝2，
||＝|2－|＝＝＝3.所以cos〈，〉＝＝.
法二：不妨设＝(1,0)，＝(0,1)，则＝2(1,0)－(0,1)＝(2，－)，所以cos〈，〉＝＝.
11.【解析】：向量，，且，则，
,, ,设向量与的夹角为，则 ，
因为，所以，选D.
12.【解析】：因为＝－＝(1－x，1)，所以||2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，
解得x＝3或x＝－1(舍)．设，的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝.
13.【解析】：因为，所以，，
，
又因为，
所以，所以，的夹角的最小值为.故选：C
14.【解析】：由可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以，所以与的夹角为.
15.【解析】：由题意得, ,整理得,即
所以;所以;夹角的最小值为.
16.【解析】：由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝＝＝2.同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝＝＝＝，解得λ＝.
17.【解析】：因为，，所以，
所以，
,，
所以．
18．【解析】：因为向量与的夹角为锐角，所以·＝－2m＋m＋3＝－m＋3>0，解得m<3.
设＝λ(λ>0)，即(－1,1)＝λ(2m，m＋3)，则.解得
即当m＝－1时，向量与同向共线，不合题意．
所以实数m的取值范围是．
19.【解析】：因为2－3与的夹角为钝角，所以(2－3)·<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
解得k＜3.又若(2－3)∥，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2－3＝(－12，－6)＝－6c，此时2－3与反向，不合题意.
综上，k的取值范围为.
20.【解析】:法一：将两边平方得，
则， 故的夹角为30°.
法二：因为，如图作，则，是等边三角形，
延长至C，使AC=AB，，
所以与的夹角为，易知大小为30°.
21.【解析】：由++=0知，+=－，所以|+|=||，(+)2=2，即2+2·+2=2.
所以.
则.故、的夹角的余弦值为.
22.【解析】：（1）设，所以，解得或
当时，，
因为，所以3(4x―1)―(2―3x)=0，解得，
当时，，因为，所以3(5x－2)+1=0，解得
（2）设与的夹角θ,由（1）可知，当时，，，
当时，取最小值，则，所以，，
当时，，则，
当时，取最小值，则，所以，所以
23.【解析】：（1），所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，
所以，又，
所以，所以与的夹角为.
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