高一数学新教材(2019)下学期专题练：平面向量数量积----模长问题（二）（含解析）

《平面向量数量积----模长问题》（二）
主要考查平面向量数量积的运算中求模长等问题
知识点
利用数量积求模主要采取如下两种方式：
模长平方：
(1)或；
(2)；
2、坐标运算：若，则.
二、练习
1.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2．已知非零向量，夹角为45°，且||＝2，||＝2．则||等于（　　）
A．2 B．2 C． D．
3．若，满足，，，则________.
4. (2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A. B．2 C．5 D．50
5. 已知平面向量，，，，，则的值是________.
6.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.5
7．已知、满足：，，，则_________.
8．已知平面向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．5
9.设向量满足，，则( )
A.2 B. C. D.
10．已知单位向量，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.设向量，，满足++=0,( -)⊥, ⊥,若||=1，则||2+||2+||2的值是 ．
12．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
13.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
14．向量满足，与的夹角为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是______．
16．在中，，，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．6
17.设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝ ，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是 ．
18．已知向量，及实数t满足|t|＝3．若 2，则t的最大值是　　．
19．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为 ．
20．向量的夹角为120°，，，则的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．4
21．已知P为锐角△ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则|＋3|的最小值为________．
22．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是________．
23．已知平面向量a，b(a≠0，b≠a)满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为150°，则|a|的取值范围是________．
24．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为________．
25．若平面向量，，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
26.已知平面向量，的夹角为，且，，在△ABC中，＝，＝，D为BC中点，则(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
27.在平行四边形中,，E为CD的中点．若＝1，则的长为________．
28.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.
29．如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.
（1）用，表示，；
（2）求线段的长.
30．如图，在中，已知，，，E，F分别是线段AB，AC上的点，且，，其中，M，N分别是线段EF，BC的中点.
（1）求证：；
（2）若，求的最小值.
答案与解析：
1.【解析】：法一：|a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
法二：　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
2.【解答】：非零向量，夹角为45°，且||＝2，||＝2．
所以4，4﹣2||+||2＝4，则||＝2．故选：A．
3.【解析】：
，所以，解得：.
4.【解析】：因为a＝(2,3)，b＝(3,2)，所以a－b＝(－1,1)，所以|a－b|＝＝，故选A.
5.【解析】：因为，，所以，
所以，所以.
6.【解析】：由题意可得，解得，所以，
因此．故选：D
7.【解析】：，因为，，所以，
所以，可得
8．【解析】：因为向量，所以1×k―2×(―2)=0，所以 k=―4．所以．
所以．故选：A．
9.【解析】：因为向量满足，所以，
可得，所以.故选：B.
10.【解析】：因为，所以，化简得，
因为，，所以，故选：B．
11.【解析】：由++=0，得= －－，又(-b)⊥，所以(－)·（－－）=0，
所以－||2－·+ ·+||2=0,所以||=||=1.
又= －－，所以||2=|－－ |2= (－－)·（－－）=||2 + 2·+||2=2
所以||=，综上||2+||2+||2=2
12．【解析】：，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，，，，
，
当夹角为时，，，
，
，
所以或
故选：BD．
13.【解析】：依题意，，
两边平方得：,
两式相减并化简得，由于，所以代入可得.
14.【解析】：，
所以．时取得最小值．故选：D．
15.【解析】：因为向量与的夹角是钝角，所以，即，解得；
当与反向时，，解得，
所以的取值范围是.故答案为：
16.【解析】：由，所以，
，
（当且仅当时，取等号），
所以的最小值是，故选：C.
17.【解析】：向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝＝.
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.
即|a－tb|的取值范围是[，5]．
18.【解答】：由于求t的最大值，即t＞0，
由|t|＝3， 2，两边平方可得（t）2＝9，即为2+t22+2t 9，即有2+t22＝9﹣4t，
由2+t22≥2t|| ||≥2t 4t，当且仅当，同向时，取得等号．
由9﹣4t≥4t，解得t．即有t的最大值为．
19.【解析】：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|＝＝＝4.故答案：4
20.【解答】：|2|≤|2|+||，计算：|2|22+42+4||2+4||2+4|| ||cosθ
＝1+4﹣43，所以|2|，|2|≤|2|+||＝2，当且仅当||2|＝||时取等号．
故的最大值为2，故选：C．
21.【解析】：＋3＝＋3(＋)＝4＋3，
(4＋3)2＝16||2＋9||2＋24||||cos120°＝16||2－48||＋144，
所以当||＝时，(4＋3)2最小为108.故|＋3|min＝6.
22．【解析】：[5,5]
23.【解析】：数形结合，作圆O，，因为a与b－a的夹角为150°，设M为圆上一点，则，
，所以,故,圆的半径=1，显然.
24【解析】：由|a＋b|＝|a－b|，可得a⊥b, 又由|ta＋(1－t)b知，向量的终点在以a,b为直角边的直角三角形的斜边上，故为斜边上的高时，模最小=.
25.【解析】：由题意可得：，
因为，所以，
所以
即，故选：A.
26.【解析】：因为,
所以，则.
27.【解析】：方法一：由题意可知，，.因为＝1，所以(＝1，则 因为所以
因此式可化为.解得(舍去)或，所以的长为.
方法二：以为原点，为轴建立如图的直角坐标系，过作于点.
由，可知.设，则．.
因为E是CD的中点，所以.所以.
由，可得,即,所以(舍去)或. 故AB的长为.
28.【解析】：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，
所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5.
29.【解析】：（1）由已知得，
，
所以，；
（2）由（1）得，所以，
所以线段的长为.
30.【解析】：（1）证明：由已知一方面，另一方面，
因为分别是中点，所以，，
所以，所以；
（2）∵，，∴，，
∴，
又，
，
所以时，，所以的最小值为．
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