第一章 勾股定理及逆定理复习

第一章勾股定理及逆定理复习
辽宁沈阳市第一二七中学 景庆伟
一、学习导航
1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c为斜边)，则
a2+b2=c2 c= c2- a2=b2 b= c2-b2=a2 a=
2. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
3.有一个角是900的三角形是直角三角形；
4.两锐角互余的三角形是直角三角形；
5.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；
6.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
二、知识梳理与例题精讲
例1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A. B. C. D.
【点评】本题用了考查常用的勾股定理，直角三角形根据面积得到的一个等积式，列方程求线段CD的长。
例2. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A.10 B. C. 10或 D.10或
【点评】在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．
例3. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.
【点评】本题考查了三角形的全等变换、正方形的性质以及勾股定理.
解题的关键是正确的做出旋转的全等变换，将四边形的问题转化成正方
形的问题来解决
例4. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.
【点评】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的长就是利用勾股定理，三角形全等等知识解题。
例5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1,则EF的长（ ）A.3 B.2　 C. 　　D.1
【点评】本题主要考查 “直角三角形中30°度角所对的直角边等于斜边的一半”的知识，也涉及到全等三角形的判定与性质，相对综合.
例6. 已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为______
【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.
例7.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
例8.如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A、（2，0） B、（） C、（） D、（）
【点评】本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度较小
例9.如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．
【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决．
三、方法规律
考点一：转化思想
1.如图,一个长、宽、高分别为6cm、4cm、和3cm的长方体纸盒，一只蚂蚁要从这个长方体纸盒的一个顶点A处沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点G处觅食，试求它需要爬行的最短路程。
考点二：方程思想
2.如图，一架云梯AB斜靠在墙上，底端B到墙角C的距离是7米，若云梯上端下滑4米，则底端B沿水平方向向外滑动8米，试求云梯AB的长度。
考点三：分类讨论思想
3.在△ABC中，AB=25, AC=30 ，BC边上的高AD为24，试求第三边BC的长。
四、目标检测
1、如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．
2、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
3、某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
4、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
5、如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．
6、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．