6.5一次函数图像的应用（1）

课 时
第六章第五节第一课时
课 题
一次函数图像的应用
课 型
新授课
时 间
2012年12月10日
周一
节 次
第2,3节
授 课 人
要焱焱
教学
目标
1、能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.
2、通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．
重点
正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题.
难点
一元一次方程与一次函数的关系.
教法、学法指导
“探究——归纳——巩固——反馈”，学生对研究常量的计算问题已掌握了一定的方法,但对函数、变量的变化规律、与方程的联系的学习刚刚开始,抽象概括概念的能力尚显不足,所以主要培养学生读图分析和各知识联系方面的能力.
课前
准备
教、学具：多媒体投影，实物展台.
引导预习：读图能力的锻炼.
教学过程：
【有效预习】
一、复习提问、夯实基础：
师：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？
生：认真思考后回答：
在一次函数y = kx + b中
当k ﹥ 0时，y随x的增大而增大，
当b ﹥ 0时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当b ﹤ 0 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限．
当k ﹤ 0时，y随x的增大而减小，
当b ﹥ 0时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当b ﹤ 0 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限.
（意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k、b的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.
效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备.
建议：学生回答时不一定按老师设计好的回答，只要意思对就应该给予鼓励、表扬，增强学生的学习信心与兴趣.）
二、情境导入，引导预习：
师：同学们回答的很好，那么，这些性质请同学们在课下通过自己的分析，结合图像进一步的理解、掌握.性质我们了解了，它们在实际情境中是如何利用的，又是如何为我们的现实生活服务的呢？这就是我们这节课将要探索的重点：一次函数图像的应用.
（板书课题）
师：相信同学们对我们这儿前段时间的干旱应该有所印象，所以，节约用水是我们每个人的责任和义务.下面我们一起来探索一下，一次函数在干旱天气中的应用：（课件展示）
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间(天)与蓄水量(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(2)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
生：思考后回答：
(1)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当t =10时，V约为1000万米3．同理可知当t为23天时，V约为750万米3．
(2)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V等于400万米3时，求所对应的t的值．当V等于400万米3时，所对应的t的值约为40天．
（3）水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．
师：这位同学的回答很好，请同学们再思考一下有没有其余的方法？
生：刚才这位同学回答的不错，但是有的结果是估计的，不是精确的，所以我认为用一次函数来解决更好一些，由图像我们能看出来V是t的一次函数，而我们知道，求一次函数的解析式只需要两个条件就可以了，所以我们可以先设出其解析式为：V = kt + b，再把点（0,1200）和（10,1000）代入，求出k、b的值，然后再分别代入求就可以了.
师：很好，同学们听明白了吗？下面请同学们在演草纸上写出相应的过程，我们请一位同学在黑板上板书他的过程.
一生在黑板解决，其余学生独立完成，然后共同对照，找出彼此的不足并加以改正.
（意图：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力．并且对于掌握较好的学生直接锻炼他们用一次函数解题的能力.
效果：结合本地的干旱实情，教育学生节水意识与环保意识．从学生表情来看，大部分学生应该会有所改变.
建议：在具体的教学活动中，教师应注意学生对以上问题的掌握情况：如果学生掌握得好，进入下面的环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多练习一道类似的习题（如课后随堂练习第1题等.）
三、巩固练习、加深印象：
师：有关函数问题在我们日常生活中随处可见，那么这些问题能不能也用一次函数的知识来解决呢？请看：（课件展示）
全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如下图所示．[来源:学*科*网]
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
生解：(1)右图像可以看出，如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2．
(2)从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，100÷2=50，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．
(3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
（意图：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境．
效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育．
建议：教师最好鼓励学生尝试独立解决，实在解决不了的，再在小组内讨论、交流.）
【点拨互动】
四、例题分析，强化理解：
师：刚才同学们的表现都很好，包括解题过程的书写也不错，那么，一次函数图像的分析方法与思路是什么样的呢？下面我们一起通过一道例题来探讨一下：（课件展示）
某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y (升)与摩托车行驶路程x (千米)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
师分析：(1)函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程．
(2)x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量．
(3)当y小于1时，摩托车将自动报警．
（学生认真听讲，仔细分析后回答）
生：(1)观察图象，得
当y=0时，x=500
因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米．
(2) x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．
(3)当y=1时，x=450
因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．
（意图：通过例题的练习，使学生对本节知识有更好的理解，对这类问题的解决能力有较大的提升.
效果：学生基本能交好的独立完成例题,收到了较好的教学效果.
建议：在本题中,教师可以提示学生，每题的答案在图像中都能较明确的找到，所以可以直接由图像得.那么如果问题的答案不能直接明确的看出来，那就只能像上面的引例一样用一次函数的解析式来解决.）
五、深入探究、提升能力：
师：刚才同学们都能直接由图像得到相应的答案，那么对于下面的问题该如何解决呢？（课件展示）
当得知周边地区的干旱情况后，某学校的小明意识到节约用水的重要性．当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数S（户）与宣传时间t（天）的函数关系如图所示.
根据图象回答下列问题：
（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？
（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？
（3）你知道平均每天增加了多少户？
（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？
（5）写出参加活动的家庭数S与活动时间t之间的函数关系式
（6）若每户每天节约用水0.1吨，那么活动第20天可节约多少吨水？
（7）写出活动开展的第t天节约的水量Y与天数t的函数关系．
（8）写出活动开展到第5天时，全校师生共节约多少吨水？
(引导学生认真分析、思考，再解答.)
生：（1）200户；
（2）全校师生共有1000户，该活动持续了20天；
（3）平均每天增加了40户；
（4）第15天时，参加该活动的家庭数达到800户；
（5）S = 40 t + 200 ．
（6）第20天可节约100吨水；
（7）Y = 4t + 20．
（8）第5天时，全校师生共节约160吨水．
（意图：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水．同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握．通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题．
效果：通过练习，学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题，同时渗透环保意识，珍惜水资源．学生通过合作交流，解决问题，在教师的引导下，逐步加深了对一次函数图象和性质的运用. 通过分层练习，调动了不同学生的学习热情．
建议：教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.另外学生知识上有一定的分层，为了更好地调动不同学生的学习热情，教师可根据学生的掌握情况，适当选择上述题目要求学生分层完成．）
六、拓展延伸、体会联系：
师：刚才我们一起探索了一次函数图像与现实情景中的联系，那它和别的知识有联系吗？我们一起来探究下面的问题：
1、看图填空
(1)当y=0时，x= ;
(2)直线对应的函数表达式是________________．
生：(1)观察图象可知当y = 0时，x = -2；
(2)直线过(－2，0)和(0，1)
设表达式为y = kx + b，得
-2k + b = 0 ①
b = 1 ②
把②代入①得　k = 0.5
∴直线对应的函数表达式是y = 0.5x + 1
2、议一议
一元一次方程0.5x + 1= 0与一次函数y = 0.5x + 1有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答．）
师分析：一元一次方程0.5x + 1= 0的解为x = -2，一次函数y = 0.5x + 1包括许多点．因此0.5x + 1= 0是y = 0.5x + 1的特殊情况．
当一次函数y = 0.5x + 1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x + 1= 0的解．
函数y = 0.5x + 1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x + 1= 0的解．
（引导学生分析、思考、体会、理解.）
（意图：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数y = 0.5x + 1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x + 1= 0的解；从“形”的角度看，函数y = 0.5x + 1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x + 1= 0的解．
效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数．
建议：能引导学生先在小组内交流、讨论得到大致的意思，教师再给予总结、提升，效果会更好一些.）
七、总结提升、知识升华：
师：刚才我们一起探究得到了一次函数的图像与现实生活的联系，那么本节课的内容有哪些需要我们掌握的呢？请同学们一起讨论一下：
生：我认为这节课需要掌握的地方有：能通过函数图象获取信息，能利用函数图象解决简单的实际问题．
师：很好，那么还有别的吗？
生：我觉着本节课还有一元一次方程与一次函数的关系．这个知识点也是需要我们掌握的.
师：太棒了，这个问题应该是本节课的难点，希望理解不是太好的同学，在课下能请教一下同学或与我一起再来探究一下，确保自己能理解.
（意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用．但学生容易忽略一元一次方程与一次函数的联系,教师应做适当补充.
建议：教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过的实际问题与一次函数图象的实例的图片，让学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习热情．）
【反馈拓展】
当堂达标检测：
1、在函数y=x－1的图象上的点是（ ）
A.(－3,－2) B.(－4,－3)
C.(,) D.(5,)
2、函数y=mx－(m－2)的图象经过点（0，3）,则m=______.
3、当b=______时，直线y=x+b与直线y=2x+3的交点在y轴上.
4、一次函数y=1－5x经过点（0，______）与点（______，0），y随x的增大而______.
5、某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系如图所示．观察图象回答下列问题：
（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？
（2）该同学经过几个月能存够200元？
（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？
6、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生运动的一次函数的图象，图中s和t分别表示运动的路程和时间，根据图象请你判断：
（1）甲乙谁的速度比较快？为什么？
答：___________________________________________.
（2）快者的速度比慢者的速度每秒快多少米？
答：____________________________________________.
（意图：本节课重点是正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题.，所以设计的习题大多数都与这些知识有关，满足学生的学习需求，使大多数学生都能独立完成相应的练习，对他们以后学习兴趣的培养起到了一定的作用，也对本节课的知识起到了巩固的作用.
效果：通过课堂练习，激发学生的学习热情，教师在学生独立思考的基础上，鼓励学生独立完成，培养学生学数学的信心与兴趣.）
作业：
A类：课本201页习题6.6第2题.
B类：课外探究：在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流．
板书设计：
6.5一次函数图像的应用（1）
复习一次函数性质：
练习：有关水库蓄水量与干旱时间的问题
练一练：土地沙漠化问题
例：
探究：小明的倡议
拓展：
一元一次方程与一次函数的关系
当堂达标检测：
教学反思：
一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型，其应用比比皆是．在教学设计中，争取选用最具有现实生活背景，与学生生活密切相关的问题，一方面力求让学生体会数学的广泛运用，另一方面，在学科教育中渗透德育教育．
通过本节课的教学，更加深刻的感受到了：在教学活动中教师应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解．教学过程中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况，对于学生的回答，只要学生的方法有道理，教师应给予鼓励和恰当的评价，帮助学生认识自我，建立自信，真正在教学的过程中发挥评价的教育功能.