郸城县第二实验中学 2021-2022 学年度假期大预习测试（二）
2022 年 月 日
考试时间：100 分钟；命题人：九年级数学组
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(共 30 分)
1．(本题 3 分) 2022 的值（ ）．
2．(本题 3 分)2020 年我国 GDP 约为 101.6 万亿元，经济总量首次突破百万亿，成为 2020
年全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据“101.6 万亿”用科学记数法表示为
（ ）
A．1.016 102
B．101.6 1012
C．1.016 1014
D．101.6 1014
3．(本题 3 分)下列计算正确的是（ ）
A． m3 2 m6
2x2 x 2x
C． a b2 a2 ab b2
D． 4
(
18
) (
2
) (
2
)4．(本题 3 分)关于 x 的一元二次方程 x2 2 k x k 0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．(本题 3 分)一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共 4 个，它们除颜色
外完全相同，其中红球有 2 个，蓝球有 1 个．小明从盒子里随机摸出 1 个小球，然后放回摇匀，再随机摸出 1 个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
6．(本题 3 分)已知直线 l1∥l2，一块含 30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，则
∠2 等于( )
A．25° B．35° C．40° D．45°
7．(本题 3 分)如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题 3 分)如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为 9 和 3，则阴影部分的面积为
（ ）
(
3
)A． 8 3
B． 9 3
C． 3 3
D． 3 2
(
3
) (
3
) (
3
)9．(本题 3 分)下列关于二次函数 y x2 4 x 3 的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的顶点坐标为2, 3 C．当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小 D．该函数的最大值为 7
10．(本题 3 分)如图，正方形 ABCD 的四个顶点均在坐标轴上．已知点 A(﹣2，0)、E(﹣
3，0)，点 P 是正方形 ABCD 边上的一个动点，在正方形 ABCD 外作等腰直角△ PEF，
(
2
)若点 P 从点 A 出发，以每秒时，点 F 的坐标为（ ）
个单位长度沿 A→D→C→B→A 方向运动，则第 2020 秒
A．(﹣4，4) B．(5，﹣3) C．(﹣3，5) D．(﹣4，2)
二、填空题(共 15 分)
11.（本题3分）计算：
12.（本题3分）不等式组 的所有整数解的积是
13．(本题 3 分)在一个不透明的口袋中装有 4 个只有颜色不同的球，其中红球 1 个，白
球 2 个，黄球 1 个，搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是
14．(本题 3 分)如图，△ABC 的三个内角满足A 1 B 1 C ．分别以点A ， C 为圆
2 3
心，大于 1 AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，F ，作直线 EF 交 AB 于点 D ，连接CD ．
2
若CD 2 ，则 AC
15．(本题 3 分)如图，在平面直角坐标系中， A0,1， B 5, 0 ，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC ，则点C 的坐标为 ．
三、解答题(共 75 分)
16.（本题8分）计算：
17.（本题8分）先化简，再求值： 其中
18．(本题 8 分)近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动．某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程．为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学， 根据调查结果绘制出了如下两个尚不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
这次被调查的学生共有 人；
求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图；
若全校共有 5000 人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数．
(
课题
测量孔子雕像的高
测量示意图
说明：在点
A
处测得孔子雕像顶端
C
的仰角
CAD
，在点
B
处测得孔子雕像顶端
C
的仰角
C
B
D
．
（
A
，
B
，
D
三点在同一条直线上）
测量数据
的度数
的度数
AB
的距离
45
56
2.5
m
)19．(本题 9 分)孔子雕像的落成给某中学增添了一处靓丽的人文景观，弘扬了优秀传统文化，也提升了学校的文化品位．学完了三角函数知识后，该校“数学社团”的张萍萍和杨霞同学决定用自己学到的知识测量孔子雕像的高度，她们把“测量孔子雕像的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
请你根据他们测量的数据计算孔子雕像的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：
sin 56 0.83 ， cos 56 0.56 ， tan 56 1.48 ）
20．(本题 10 分)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 CD⊥AB 于 E，连接 AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 BE 2, CD 6，求⊙O 的半径的长．
21．(本题 10 分)为抗击疫情，某工厂准备购买A ， B 两种型号的消毒液．已知购买 2 瓶A 型消毒液和 1 瓶 B 型消毒液需要 26 元；购买 3 瓶A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液需要 44 元．
求这两种消毒液的单价；
实际购买时，发现厂家有两种优惠方案；
方案一：购买A 型消毒液超过 50 瓶时，超过的部分按原价的八折付款， B 型消毒液没有优惠；
方案二：两种型号消毒液都按原价的九折付款．
该厂决定购买 x （ x 50 ）瓶A 型消毒液和 40 瓶 B 型消毒液．
①求两种方案的费用 y （元）与 x （瓶）之间的函数关系式；
②请你帮该工厂决定哪种方案更合算．
22．(本题 10 分)如图，在平面直角系中，已知点 O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
求过 O，A，B 三点的抛物线的解析式；
在第一象限的抛物线上存在点 M，使 O，A，B，M 为顶点的四边形的面积最大， 求点 M 的坐标．
23．(本题 12 分)阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点 A，B，C，求平面上
到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C 距离之和最小的点称为 ABC 的费马- 托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图 1，我们可以将
△ BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△ BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得 DE=PC，因 PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC 的最小值与线段 的长度相等；
如图 2，在直角三角形 ABC 内部有一动点 P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接 PA， PB，PC，若 AB=2，求 PA+PB+PC 的最小值；
如图 3，菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC=60°，平面内有一动点 E，在点 E 运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接 AE、DE，在 ADE 内部是否存在一点 P，使得 PA+PD+PE 最小，若存在，请直接写出 PA+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由．郸城县第二实验中学 2021-2022学年度假期大预习测试（二）
2022 年 月 日
考试时间：100分钟；命题人：九年级数学组
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(共 30分)
1．(本题 3分) 2022 的值（ ）．
1 1
A． B．2022 C． D．－2022
2022 2022
【答案】B
【分析】
数轴上表示数 a的点与原点的距离是数 a的绝对值，根据绝对值的含义可得答案.
【详解】
解： 2022 2022,
故选 B
2．(本题 3分)2020年我国 GDP约为 101.6万亿元，经济总量首次突破百万亿，成为 2020
年全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据“101.6万亿”用科学记数法表示为
（ ）
A．1.016 102 B．101.6 1012 C．1.016 1014 D．101.6 1014
【答案】C
【分析】
科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中1 a﹤10，n为整数．确定 n的值时，要
观察把原数变成 a时，小数点移动多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数的绝对值 10时， n时正数；当原数绝对值＜1时， n时负数．
【详解】
解：将 101.6万亿用科学记数法表示为1.016 1014．
故选：C．
试卷第 1页，共 22页
3．(本题 3分)下列计算正确的是（ ）
3 2A． m m6 B． 2x2 x 2x
C． a b 2 a2 ab b2 D． 18 2 4 2
【答案】D
【分析】
根据幂的乘方，同类项，完全平方公式，同类二次根等知识解答即可．
【详解】
解： 3 2 m m6，选项 A错误，不符合题意；
2x2与 x无法合并，选项 B错误，不符合题意；
a b 2 a 2 2ab b 2 ，选项 C错误，不符合题意；
18 2 3 2 2 4 2，选项 D正确，符合题意．
故选 D．
4．(本题 3分)关于 x的一元二次方程 x2 2 k x k 0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】
判定一元二次方程判别式的符号，即可得出结论．
【详解】
2
解：∵ 2 k 4 1 k k 2 4k 4 4k k 2 4 0
∴方程有两个不相等的实数根
故选 A．
试卷第 2页，共 22页
5．(本题 3分)一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共 4个，它们除颜
色外完全相同，其中红球有 2个，蓝球有 1个．小明从盒子里随机摸出 1个小球，然后
放回摇匀，再随机摸出 1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【答案】C
【分析】
列表法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表如下：
第二次
红 1 红 2 黄 蓝
第一次
红 1 （红 1，红 1） （红 1，红 2） （红 1，黄） （红 1，蓝）
红 2 （红 2，红 1） （红 2，红 2） （红 2，黄） （红 2，蓝）
黄 （黄，红 1） （黄，红 2） （黄，黄） （黄，蓝）
蓝 （蓝，红 1） （蓝，红 2） （蓝，黄） （蓝，蓝）
共有 16种等可能的结果，而其中摸出的小球一红一蓝的结果有 4种，
4 1
∴ P（两次摸出的小球一红一蓝） ．
16 4
故选 C．
6．(本题 3分)已知直线 l1∥l2，一块含 30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，
则∠2等于( )
A．25° B．35° C．40° D．45°
试卷第 3页，共 22页
【答案】A
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角
三角形的性质即可得出结论．
【详解】
如图，
∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3＝∠A+∠1＝30°+35°＝65°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝65°，
∵∠4+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠2＝25°．
故选 A．
7．(本题 3分)如图所示的几何体是由 4个大小相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
找到几何体从左面看所得到的图形即可．
试卷第 4页，共 22页
【详解】
从左面可看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：A．
8．(本题 3分)如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为 9和 3，则阴影部分的面积为
（ ）
A．8 3 3 B．9 3 3 C．3 3 3 D．3 3 2
【答案】C
【分析】
根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的
面积列式计算即可得解．
【详解】
解：∵两个相邻的正方形，面积分别为 9和 3，
∴两个正方形的边长分别为 3， 3，
∴阴影部分的面积= 3 ×（3- 3）=3 3 -3．
故选：C．
9．(本题 3分)下列关于二次函数 y x2 4x 3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的顶点坐标为 2,3
C．当 x 2时， y随 x的增大而减小 D．该函数的最大值为 7
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】
试卷第 5页，共 22页
解：由二次函数 y x2 4x 3可得： a 1 0，
∴开口向下，故 A错误；
2
把二次函数的解析式化为顶点式为 y x 2 7，
∴顶点坐标为 2,7 ，当 x 2时， y随 x的增大而增大，故 B、C错误；
当 x 2时，函数有最大值，即为 7，故 D选项正确；
故选 D．
10．(本题 3分)如图，正方形 ABCD的四个顶点均在坐标轴上．已知点 A(﹣2，0)、E(﹣
3，0)，点 P是正方形 ABCD边上的一个动点，在正方形 ABCD外作等腰直角 PEF，
若点 P从点 A出发，以每秒 2个单位长度沿 A→D→C→B→A方向运动，则第 2020
秒时，点 F的坐标为（ ）
A．(﹣4，4) B．(5，﹣3) C．(﹣3，5) D．(﹣4，2)
【答案】C
【分析】
由正方形的性质可求 AD 2AO 2 2，可求点 P第 2020面时与点 C重合，由等腰直角
三角形的性质可求解．
【详解】
∵点 A 2，0 ，
∴ AD 2AO 2 2，
∴点 P从点 A 4 2 2出发，一圈后回到 A点所需的时间为 8s，
2
∴ 2020 8 252.5，
∴第 2020秒时，点 P在点 C处，
∴点P 2，0 ，
试卷第 6页，共 22页
∴EP=5，
∵ FEP 90 ，EF=EP=5，
∴点 F 3，5 ．
故选：C．
二、填空题(共 15分)
0
11 ( 3 ) 1 ． 本题 分 计算： 2
4 ______．
【答案】-1
【分析】
先根据零指数幂和算术平方根的意义化简，再算加减即可．
【详解】
1 0
4 1 2 1．
2
故答案为 1．
1 2x 3
12．(本题 3分)不等式组 x 1 的所有整数解的积是___________．
2
2
【答案】0
【分析】
先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的积即可．
【详解】
由 1-2x＜3，得：x＞-1，
x 1
由 ≤2，得：x≤3，
2
所以不等式组的解集为：-1＜x≤3，
它的整数解为 0、1、2、3，
所有整数解的积是 0．
试卷第 7页，共 22页
故答案为 0．
13．(本题 3分)在一个不透明的口袋中装有 4个只有颜色不同的球，其中红球 1个，白
球 2个，黄球 1个，搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是_____________
1
【答案】
6
【分析】
画树状图找出所有出现的情况，以及抽出两个球都是白球的情况，然后利用概率公式求
解 ．
【详解】
解：一个不透明的布袋装有 4个只有颜色不同的球，搅匀后从布袋里摸出 2个球，所有
情况共有 12中，其中白球只有 2个，抽出 2个都是白球的情况 2种，
2 1
搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是 P= =12 6．
1
故答案为： ．
6
1 1
14．(本题 3分)如图， ABC的三个内角满足 A B C ．分别以点A，C为圆
2 3
1
心，大于 AC的长为半径作弧，两弧交于点 E，F ，作直线 EF交 AB于点D，连接CD．
2
若CD 2，则 AC ______．
试卷第 8页，共 22页
【答案】2 3
【分析】
A 1 1由三角形内角和及 B C 可得 A 30 , B 60 , BCA 90 ，进而可得
2 3
CD BD BC 2，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
1 1
解：∵ A B BCA 180 ， A B C ，
2 3
∴ A 30 , B 60 , BCA 90 ，
由题意得DC DA，
∴ DCA A 30 ，
∴ BDC 60 ，
∴△BDC是等边三角形，
∵CD 2，
∴CD BD BC 2，
∴ AC BC tan B 2 3；
故答案为 2 3．
15．(本题 3分)如图，在平面直角坐标系中， A 0,1 ， B 5,0 ，以 AB为斜边作等腰直
角三角形 ABC，则点C的坐标为______．
试卷第 9页，共 22页
【答案】 3,3 或 2, 2
【分析】
以 AB为对角线作一个正方形CAC B，然后根据“k型”全等可进行求解点 C的坐标．
【详解】
解：以 AB为对角线作一个正方形CAC B，过点 C作 CD⊥y轴，过点 B作 BE⊥DC，
交 DC的延长线于点 E，如图所示：
∴ CDA BEC 90 ，
∵四边形CAC B是正方形，
∴ AC CB， ACB 90 ，
∴ ACD DAC ACD ECB 90 ，
∴ DAC ECB ，
∴ ACD≌ CBE AAS ，
∴DC BE, AD CE，
∵ A 0,1 ， B 5,0 ，
∴OA 1，OB 5，
∴ AD CE BE 1 CD 1，OB DE DC CE DC DC 1 5，
∴DC 3，
∴C 3,3 ，
同理可得C 2, 2 ，
∴综上所述：以 AB为斜边作等腰直角三角形 ABC，则点C的坐标为 3,3 或 2, 2 ；
故答案为 3,3 或 2, 2 ．
试卷第 10页，共 22页
三、解答题(共 75分)
16．(本题 8分)计算： 3 8 +（3﹣π）0﹣2sin60°+（﹣1）2016+| 3 1|
【答案】-1
【分析】
本题涉及零指数幂、特殊角三角函数值、立方根、绝对值．在计算时，需要针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
= 2+1 2× 3原式 +1+ 3 1
2
= 1
x 2x2 x17．(本题 8分)先化简，再求值： 1 ，其中 x 2 ．
1 x x2 2x 1
1 x 2 2
【答案】 x ， 2
【分析】
根据分式的运算法则化简，代入求值即可．
【详解】
2x 1 1 x 2
解：原式
1 x x 2x 1
1 x
．
x
1 2 2 2
当 x 2时，原式 ．
2 2
18．(本题 8分)近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动．某学校认真
策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类
型的活动课程．为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，
根据调查结果绘制出了如下两个尚不完整的统计图．
试卷第 11页，共 22页
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校共有 5000人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数．
【答案】（1）100；（2）“历史”所对应的圆心角的度数为 36°，图见详解；（3）选择“体
验”类课程的学生人数为 1000人．
【分析】
（1）由统计图易知“科技”类所占百分比为 25％，人数为 25人，进而问题可求解；
（2）由（1）可得“历史”类课程所占的百分比，然后可求其圆心角，进而可得“自然”类
课程的人数，则问题可求解；
（3）先求出“体验”类课程的百分比，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）由统计图及题意可得：
这次被调查的人数为 25÷25％=100（人）；
故答案为 100；
（2）由（1）可得：
10
“历史”所对应的圆心角的度数为360 36 ，
100
“自然”类课程的人数为100 15％ 15（人），
补全条形统计图如图示：
试卷第 12页，共 22页
（3）由题意得：
5000 1 12％ 25％ 18％ 10％ 15％ 1000（人）；
答：选择“体验”类课程的学生人数为 1000人．
19．(本题 9分)孔子雕像的落成给某中学增添了一处靓丽的人文景观，弘扬了优秀传统
文化，也提升了学校的文化品位．学完了三角函数知识后，该校“数学社团”的张萍萍和
杨霞同学决定用自己学到的知识测量孔子雕像的高度，她们把“测量孔子雕像的高”作为
一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量孔子雕像的高
说明：在点A处测得孔子
雕像顶端C的仰角
CAD ，在点 B处测
测量
得孔子雕像顶端C的仰角
示意图
CBD ．（A，B，D
三点在同一条直线上）
的度数 的度数 AB的距离
测量数据
45 56 2.5m
请你根据他们测量的数据计算孔子雕像的高度．（结果精确到 0.1m．参考数据：
sin56 0.83， cos56 0.56， tan56 1.48）
【答案】7.7m
试卷第 13页，共 22页
【分析】
直接利用锐角三角函数关系得出 CD的长，进而得出答案．
【详解】
解：设CD的长为 xm．
∵ CAD 45 ，
∴ AD CD．
∵ AB 2.5m，
∴ BD x 2.5 m．
tan CBD CD∵ ，
BD
∴1.48
x
．
x 2.5
解得 x 7.7．
答：孔子雕像的高度约为7.7m．
20．(本题 10分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且 CD⊥AB于 E，连
接 AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 BE 2,CD 6，求⊙O的半径的长．
R 13【答案】（1）见解析；（2）
4
【分析】
（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即
可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】
（1）证明：
试卷第 14页，共 22页
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
B C = B D．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90 ，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是 R，EB=2，则 OE=R-2
∵在 Rt△OEC中， R2 (R 2)2 32
13
解得： R
4
13
∴⊙O的半径是 R ．
4
21．(本题 10分)为抗击疫情，某工厂准备购买A， B两种型号的消毒液．已知购买 2
瓶A型消毒液和 1瓶 B型消毒液需要 26元；购买 3瓶A型消毒液和 2瓶 B型消毒液需
要 44元．
（1）求这两种消毒液的单价；
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案；
方案一：购买A型消毒液超过 50瓶时，超过的部分按原价的八折付款， B型消毒液没
有优惠；
方案二：两种型号消毒液都按原价的九折付款．
该厂决定购买 x（ x 50）瓶A型消毒液和 40瓶 B型消毒液．
①求两种方案的费用 y（元）与 x（瓶）之间的函数关系式；
试卷第 15页，共 22页
②请你帮该工厂决定哪种方案更合算．
【答案】（1）A型消毒液每瓶 8元， B型消毒液每瓶 10元；（2） y1 6.4x 480 ；
y2 7.2x 360 ；②当50 x 150时，方案二更合算；当 x 150时，方案一、二费用相
同；当 x 150时，方案一更合算．
【分析】
（1）设A型消毒液每瓶 a元，B型消毒液每瓶b元，根据“购买 2瓶A型消毒液和 1瓶 B
型消毒液需要 26元”和“购买 3瓶A型消毒液和 2瓶 B型消毒液需要 44元”列二元一次
方程组解答即可；
（2）①根据方案一和方案二分别列出费用 y（元）与 x（瓶）之间的函数关系式即可；
②分三种情况比较两种方案进行解答即可．
【详解】
解：（1）设A型消毒液每瓶 a元， B型消毒液每瓶b元．
2a b 26, a 8,
根据题意得 ，解得
3a 2b 44.
b 10.
答：A型消毒液每瓶 8元， B型消毒液每瓶 10元；
（2）①设按方案一购买的费用为 y1元，按方案二购买的费用为 y2元．
根据题意得 y1 50 8 x 50 0.8 8 40 10 6.4x 480；
y2 8 0.9x 40 10 0.9 7.2x 360．
②当 y1 y2时， 6.4x 480 7.2x 360，解得 x 150．
当 y1 y2时， 6.4x 480 7.2x 360，解得 x 150．
当 y1 y2时， 6.4x 480 7.2x 360，解得 x 150．
∴当50 x 150时，方案二更合算；当 x 150时，方案一、二费用相同；当 x 150时，
方案一更合算．
22．(本题 10分)如图，在平面直角系中，已知点 O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
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（1）求过 O，A，B三点的抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使 O，A，B，M为顶点的四边形的面积最大，
求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+5x．（2）M（2，6）．
【分析】
（1）设出抛物线方程，利用已知条件求解即可．
（2）以 O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角
形面积最大，则四边形面积即最大．通过①当 0＜x≤4时，推出 x＝2时，S△OBM最大值
9 1
为 8，②当 4＜x≤5时，推出当 x＝ 时，S
2 △ABM
最大值为 ，然后求解四边形的面积最
8
大．
【详解】
解：（1）∵该抛物线经过点 A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为 y＝a（x﹣0）（x﹣5）＝ax（x﹣5）．
∵点 B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）＝4．
∴a＝﹣1．
∴该抛物线的解析式为 y＝﹣x（x﹣5）,即 y＝﹣x2+5x．
（2）以 O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角
形面积最大，则四边形面积即最大．
①当 0＜x≤4时，点 M在抛物线 OB段上时，如答图 1所示．
∵B（4，4），
∴可求直线 OB的解析式为：y＝x．
设 M（x，﹣x2+5x），
过点 M作 ME∥y轴，交 OB于点 E，则 E（x，x），
∴ME＝（﹣x2+5x）﹣x＝﹣x2+4x．
S 1△OBM＝S△MEO+S△MEB＝ 2 ME（xE﹣0 +
1
） 2 ME（xB﹣x
1 1
E）＝ 2 ME xB＝ 2 ME×4＝2ME，
∴S 2 2△OBM＝﹣2x +8x＝﹣2（x﹣2） +8
∴当 x＝2时，S△OBM最大值为 8，即四边形的面积最大．
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②当 4＜x≤5时，点 M在抛物线 AB段上时，由 A（5，0），B（4，4）可求得直线 AB
解析式为：y＝﹣4x+20．
设 M（x，﹣x2+5x），过点 M作 ME∥y轴，交 AB于点 E，则 E（x，﹣4x+20），
∴ME＝（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）＝﹣x2+9x﹣20．
S S 1 1 1 1△ABM＝ △MEB+S△MEA＝ 2 ME（xE﹣xB）+ 2 ME（xA﹣xE）＝ 2 ME （xA﹣xB）＝ 2 ME×1
1
＝ 2 ME，
1 9 1 9 1
∴S△ABM＝﹣ 2 x
2+ x﹣10＝﹣ （x﹣ ）22 + ，2 2 8
9 1
∴当 x＝ 时，S 最大值为 ，即四边形的面积最大．
2 △ABM 8
比较①②可知，当 x＝2时，四边形面积最大．
当 x＝2时，y＝﹣x2+5x＝6，
∴M（2，6）．
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23．(本题 12分)阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业
余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大
利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性
的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点 A，B，C，求平
面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后
来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为 ABC的
费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图 1，我们可以将
BPC绕点 B顺时针旋转 60°得到 BDE，连接 PD，可得 BPD为等边三角形，故
PD=PB，由旋转可得 DE=PC，因 PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC
的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图 2，在直角三角形 ABC内部有一动点 P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接 PA，
PB，PC，若 AB=2，求 PA+PB+PC的最小值；
（3）如图 3，菱形 ABCD的边长为 4，∠ABC=60°，平面内有一动点 E，在点 E运动
过程中，始终有∠BEC=90°，连接 AE、DE，在 ADE内部是否存在一点 P，使得
PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出 PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2 7；（3）存在，2 13 -2
【分析】
（1）连接 AE，由两点之间线段最短即可求解；
（2）在 Rt△ABC中先求出 AC，将△BPC绕点 C顺时针旋转 60°得到△CDE，连接 PD、
AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段 AE的长度相等，根据勾股
定理即可求解；
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（3）在△ADE内部取一点 P，连接 PA、PD、PE，把△PAD饶点 D顺时针旋转 60°得
到△FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段 GE
的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出 GE，故可求解．
【详解】
（1）连接 AE，如图，
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段 AE的长
故答案为：两点之间线段最短；AE；
（2）∵在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2
∴BC=2AB=4
由勾股定理可得 AC= BC2 AB2 2 3
如图 2，将△BPC绕点 C顺时针旋转 60°得到△CDE，连接 PD、AE，可得△CPD为等
边三角形，∠BCE=60°
∴PD=PC
由旋转可得 DE=PB，CE=BC=4
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∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段 AE的长度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°
∴在 Rt△ACE中，AE= AC 2 CE 2 2 7
即 PA+PB+PC的最小值为 2 7；
（3）存在在 ADE内部是否存在一点 P，使得 PA+PD+PE最小，
如图 3，在△ADE内部取一点 P，连接 PA、PD、PE，把△PAD饶点 D顺时针旋转 60°
得到△FGD，连接 PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形
∴PD=PF
由旋转可得 PA=GF
∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段 GE的
长度相等
∵∠BEC=90°
∴点 E在以 BC为直径的 O上，如图 3
1
则 OB=OC= BC =2
2
如图 3，连接 OG交 O于点 H，连接 CG交 AD于点 K，连接 AC，则当点 E与点 H
重合时，GE取最小值，即 PA+PD+PE的最小值为线段 GH的长
∵菱形 ABCD的边长为 4，∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD=4
∴△ABC、△ACD均为等边三角形
∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°
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1
∴四边形 ACDG是菱形，∠ACG= 2 ∠ACD=30°
∴CG、AD互相垂直平分
∴DK= 12 AD=2
∴根据勾股定理得 CK= CD2 DK 2 2 3
∴CG=2CK= 4 3
∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°
∴在 Rt△OCG中，OG= OC 2 CG2 2 13
∵OH=OC=2
∴GH=OG-OH=2 13 -2
即 PA+PD+PE的最小值为 2 13 -2．
试卷第 22页，共 22页
