2021-2022学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年安徽省六安市金寨县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝8，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（　　）
A．8m B．16m C．4m D．4m
5．如图，直线m，n被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．2 D．6
6．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD＝10米，则旗杆高度DE为（　　）
A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米
7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
8．下列图形中，阴影部分的面积为2的有（　　）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BE＝5cm
B．cos∠ABE＝
C．当0＜t≤5时，
D．当秒时，△ABE∽△QBP
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝　 　cm．（结果保留根号）
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝10，AC＝6，则BC的长为　 　．
13．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1﹣8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，EF．已知AB＝2，BC＝7，BE＝5．
（1）tan∠DAE＝　 　；
（2）若EF⊥AE交AD于点F，则FD的长度为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）在网格内以点O为位似中心，使△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，请画出△A2B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15．
（1）求证：△DAC∽△ABC；
（2）求△ACD的面积．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）a（x+1）2+4＝0的解是 　 　；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积．
20．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失．“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN∥PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
六、（本题满分12分）
21．如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．设平行于墙的边长AB为x米，围成的矩形面积为S．
（1）AD＝　 　（用含有x的式子表示），求出S与x的函数关系式；
（2）求矩形面积的最大值．
七、（本题满分12分）
22．已知点M（﹣3，m），N（1，m）在抛物线C1：y＝x2+bx+3的图象上，把C1先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）求b的值以及抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n，比较y1，y2的大小，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知表示出a，b的值，进而得出答案．
解：∵＝，
∴设a＝3x，b＝2x，
故＝＝．
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝8，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义得出tanB＝，代入求出答案即可．
解：由勾股定理得：AC＝＝＝6，
则tanB＝＝＝，
故选：C．
4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（　　）
A．8m B．16m C．4m D．4m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：Rt△ABC中，BC＝4m，tanA＝1：2；
∴AC＝＝8m，
∴AB＝＝＝4（m）．
故选：C．
5．如图，直线m，n被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．2 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵DE＝2，DF＝5，BC＝4，
∴＝，
解得：AB＝，
故选：B．
6．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD＝10米，则旗杆高度DE为（　　）
A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
，
∴DE＝7.5，
故选：A．
7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
8．下列图形中，阴影部分的面积为2的有（　　）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
②把x＝1代入函数解析式求出对应的y，然后利用三角形的面积公式即可求解；
③首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
④根据反比例函数的性质即可求解．
解：①y＝﹣x+2，
当x＝0，y＝2，
当y＝0，x＝2，
∴S阴影部分＝×2×2＝2；
②y＝4x，
当x＝1，y＝4，
∴S阴影部分＝×1×4＝2；
③y＝x2﹣1，
当x＝0，y＝﹣1，
当y＝0，x＝±1，
S阴影部分＝×1×2＝1；
④y＝，
∴xy＝4，
∴S阴影部分＝×4＝2；
故阴影部分的面积为2的有 ①②④．
故选：B．
9．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据函数图象可知该函数有最小值﹣3，故当y＝﹣5时，不存在x的值使其成立，从而可以得到一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况．
解：由图象可得，
函数y＝ax2+bx的最小值是﹣3，
∴不存在x使得ax2+bx＝﹣5，
∴一元二次方程ax2+bx+5＝0无实数根，
故选：A．
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BE＝5cm
B．cos∠ABE＝
C．当0＜t≤5时，
D．当秒时，△ABE∽△QBP
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故A正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故B错误；
如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ PF＝t t＝t2，故C正确；
当秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝　（150﹣50）　cm．（结果保留根号）
【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．
解：∵线段AB＝100cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA＝AB＝×100＝50﹣50（cm），
∴PB＝100﹣（50﹣50）＝150﹣50（cm），
故答案为：（150﹣50）．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝10，AC＝6，则BC的长为　3+　．
【分析】在Rt△ACD中，利用cosC＝，可求CD，利用勾股定理求得AD，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得BD，则BC＝CD+BD，结论可得．
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∵cosC＝，
∴．
∴CD＝AC＝×6＝3．
∴AD＝＝＝3．
在Rt△ADB中，
BD＝．
∴BC＝CD+BD＝3+．
故答案为：3+．
13．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1﹣8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　5　．
【分析】由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解．
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，EF．已知AB＝2，BC＝7，BE＝5．
（1）tan∠DAE＝　　；
（2）若EF⊥AE交AD于点F，则FD的长度为 　　．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC＝7，AD∥BC，再利用平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB，于是在Rt△ABE中利用正切的定义可求出tan∠DAE；
（2）在Rt△ABE中从而利用勾股定理可计算出AE＝，然后证明△ABE∽△FEA，利用相似比求出AF，即可求解．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴tan∠DAE＝tan∠AEB＝＝，
故答案为：；
（2）在Rt△ABE中，
由勾股定理得AE＝＝，
∵∠EAF＝∠BEA，∠B＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△FEA，
∴＝，
即＝，
解得AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝7﹣＝，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂以及实数的运算的相应法则对式子进行运算即可．
解：tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1
＝﹣1+2×+4
＝2+3．
16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）在网格内以点O为位似中心，使△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据位似中心的性质画出点A、B、C的对应点即可．
解：如图所示：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15．
（1）求证：△DAC∽△ABC；
（2）求△ACD的面积．
【分析】（1）根据题中的已知条件可知∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，由“有两组对应角分别相等的两个三角形相似”可判定△DAC∽△ABC；
（2）设△ACD的面积为S，题中已知AB＝4，AD＝2，而且AD、AB恰好是△DAC与△ABC这对相似三角形的一组对应边，所以根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列方程求出S的值即可．
【解答】（1）证明：如图，∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△DAC∽△ABC．
（2）设△ACD的面积为S，
∵△ABD的面积为15．
∴△ABC的面积为15+S，
∵△DAC∽△ABC，
∴，
∴，
解得S＝5，
∴△ACD的面积为5．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．
【分析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（1，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
解：（1）∵点A（﹣2，1）反比例函数的图象上，
∴m＝xy＝﹣2×1＝﹣2，
∴．
在中，当x＝1时，y＝﹣2，
∴点B（1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，﹣2）两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1．
（2）由图象可得，时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）a（x+1）2+4＝0的解是 　x1＝﹣4，x2＝2　；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积．
【分析】（1）由二次函数的图象可以得到该抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点A的坐标，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，即得到一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解；
（2）将点A的坐标代入y＝a（x+1）2+4列方程求出a的值即可；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，再根据点A、点B的坐标求出△PAB的面积即可．
解：（1）由二次函数y＝a（x+1）2+4的图象可知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣4，0），
设该抛物线与x轴的另一个交点为B，
∵点B与点A（﹣4，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴B（2，0），
∴当y＝0时，一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解为x1＝﹣4，x2＝2，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝2．
（2）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝a（x+1）2+4上，
∴（﹣4+1）2a+4＝0，
∴解得a＝．
（3）由（2）得a＝，
∴该二次函数为y＝（x+1）2+4，
∴该抛物线的顶点为P（﹣1，4），
又∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝2+4＝6，
∴S△PAB＝×6×4＝12，
∴△PAB的面积是12．
20．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失．“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN∥PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
【分析】过点B作BF⊥PQ，垂足为F，交MN于点E，易得EF⊥MN，在Rt△BCF中，∠BCP＝30°．得BF＝BC＝（米），∠EBA＝180°﹣60°﹣90°＝30°，在Rt△EBA中，AB＝CD＝60，∠EBA＝30°，得EB＝cos∠EBA AB＝＝30，即可求解．
解：过点B作BF⊥PQ，垂足为F，交MN于点E，
∵MN∥PQ，
∴EF⊥MN，
在Rt△BCF中，∠BCP＝30°．
∴BF＝BC＝（米），
∵∠EBA＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△EBA中，AB＝CD＝60，∠EBA＝30°，
∴EB＝cos∠EBA AB＝＝30，
∴EF＝EB+FB＝30+200（米），
答：河岸MN与PQ之间的距离（30+200）米．
六、（本题满分12分）
21．如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．设平行于墙的边长AB为x米，围成的矩形面积为S．
（1）AD＝　（﹣x+15）米　（用含有x的式子表示），求出S与x的函数关系式；
（2）求矩形面积的最大值．
【分析】（1）用含x的式子表示出AD的长，再根据面积＝长×宽可得关系式；
（2）根据二次函数的性质可得最大值．
解：（1）AD＝（30﹣x）＝（﹣x+15）米，
所以S＝AB AD＝x（﹣x+15）＝﹣x2+15x；
故答案为：（﹣x+15）米；
（2）S＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣15）2+112.5．
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝15时，S有最大值为112.5平方米．
七、（本题满分12分）
22．已知点M（﹣3，m），N（1，m）在抛物线C1：y＝x2+bx+3的图象上，把C1先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）求b的值以及抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）判断出抛物线的对称轴，利用对称轴公式求出b，再利用平移的性质求出平移后的抛物线的顶点，可得结论；
（2）利用二次函数的性质判断即可；
（3）利用二次函数的增减性解决问题即可．
解：（1）∵点M（﹣3，m），N（1，m）在抛物线C1：y＝x2+bx+3的图象上，
∴抛物线的对称轴x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣3），
∴平移后的抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6．
（2）点P不能在抛物线C2上．
理由：∵抛物线C2的开口向上，函数有最小值﹣3，
∴﹣6＜﹣3，
∴点P不可能在抛物线C2上；
（3）∵N（1，m）在y＝x2+2x+3上，
∴m＝6，
∵抛物线C2的开口向上，对称轴x＝3，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵3＜m＜n，
∴y1＜y2．
八、（本题满分14分）
23．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠FBM＝∠N，从而证明结论；
（2）由（1）相似得，从而证明△BFD∽△DFA，即可得出结论；
（3）由△ENM∽△FBM∽△FDB，得，则FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，由（2）知DF2＝FM FN，代入即可求出FM的长，从而解决问题．
【解答】（1）证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，
∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，
∴∠FBM＝∠N，
又∵∠BFD＝∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）证明：∵△BFM∽△NFA，
∴，
∴FM FN＝FB FA，
∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠FAD＝90°，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴，
∴DF2＝FM FN；
（3）解：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，
∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴，
∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，
∵DF2＝FM FN，
∴（4FM）2＝FM （4FM+12），
解得：FM＝1或0（舍去），
∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，
∵＝，
∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，
在Rt△BFD中，
BD＝＝2，
在Rt△ADB与Rt△ADC中，
AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，
解得：AC＝5．