山东省淄博市高青县2021-2022学年高二下学期2月开学收心考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省淄博市高青县2021-2022学年高二下学期2月开学收心考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 801.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-13 15:24:35 | ||
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文档简介
高青县2021-2022学年高二下学期2月开学收心考试
数学试题
2022.2
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．若圆上的点到直线的最小距离为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在数列中，，，且，则等于（ ）
A．22 B．-22 C．16 D．-16
8．设、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上一点，若，则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．下列四个数列中的递增数列是（ ）
A．1，，，，…
B．，，，…
C．-1，，，，…
D．1，，，…，
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件 B．事件B、C是互斥事件
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
12．已知双曲线的两个顶点分别是，，两个焦点分别是，，P是双曲线上异于，的任意一点，则有（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于
C．使得为等腰三角形的点P有8个
D．若，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的准线方程为________．
14．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．
15．如图，已知正方体，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点G满足________条件时，有平面EFG．
16．已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长等于________．
三、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．已知数列中，，．
①写出数列的前5项；
②猜想数列的通项公式．
18已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
19．已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求．
20．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．
21．三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，M，N分是AB，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面夹角的正弦值．
22．（12分）
已知定点，圆（N为圆心，O为坐标原点），点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记点P的轨迹为曲线C，过N的直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围．
参考答案
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．CD
10．解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件A包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件B包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件C包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件AB包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，..，，，，，
∵，∴事件A、B是相互独立事件，故A正确；
事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误；
，故C正确；
ABC包包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
∴，故D错误．
故选：AC．
11．AC 12．BCD 13． 14．
15．取，，，的中点分别为Q，M，N，P，连接BD，，FQ，QM，MN，NP，PE，因为E，F分别为AD，AB的中点，所以．同理可得．因为，，所以四边形是平行四边形，可得．所以，同理可证明，，所以E，F，Q，M，N，P共面，
因为，平面EFQMNP，面EFQMNP，所以平面EFQMNP，若平面EFG，则点G在平面EFQMNP内，
又因为点G在上底面（含边界），所以点G在面EFQMNP与面的交线上，所以点G在线段MN上，即点G在中点与中点连线上，
故答案为：G在中点与中点连线上．
16．在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图
∴，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，
过球心向地面作垂线，垂足是H，
在构成的直角三角形中，，∴，
故答案为：．
17．①由，可得
，，
，．
②猜想：
18．（1）证明：直线 可变形为 ，
联立方程组，解得，，
所以直线恒过定点；
（2）解：因为直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，
直线方程为，，则，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为4，此时直线的方程为
19．（1）由题设，可知直线l的方程为．
因为l与C交于两点，所以，解得．
所以k的取值范围为．
（2）将代入方程，
整理得．
设，，所以，．
．
由题设可得，解得，
所以l的方程是，故圆心C在l上，所以．
20．解：（1）若焦点在x轴上，可设椭圆标准方程为：，
由长轴长知：，∴；由焦距知：，
∴，解得：；∴椭圆标准方程为：；
若焦点在У轴上，可设椭圆标准方程为：，
同焦点在x轴上，可得，，所以椭圆方程为；
综上，所求椭圆方程为或．．
（2）∵所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
∴可设双曲线标准方程为，
又过点，所以，解得，所以即为所求．
21．
（1）证明：连接，，
在中，M，N分别为AB和的中点，则，
因为平面，平面，故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，故，
则，
故直线和平面夹角的正弦值为．
22．
（1）由中垂线的性质得，所以，
所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，
因此，曲线C的方程为：．
（2）由题意知直线l的斜率不为0，可设
，，，则，
由题意可知，
，
联立，整理得，
由根与系数的关系得，，
所以
．
令，则．
因为在上是增函数，所以，所以面积的取值范围为．
数学试题
2022.2
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．若圆上的点到直线的最小距离为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在数列中，，，且，则等于（ ）
A．22 B．-22 C．16 D．-16
8．设、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上一点，若，则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．下列四个数列中的递增数列是（ ）
A．1，，，，…
B．，，，…
C．-1，，，，…
D．1，，，…，
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件 B．事件B、C是互斥事件
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线一定经过第一象限
B．经过点，倾斜角为的直线方程为
C．经过两点，的直线方程为
D．截距相等的直线都可以用方程表示
12．已知双曲线的两个顶点分别是，，两个焦点分别是，，P是双曲线上异于，的任意一点，则有（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于
C．使得为等腰三角形的点P有8个
D．若，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的准线方程为________．
14．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．
15．如图，已知正方体，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点G满足________条件时，有平面EFG．
16．已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长等于________．
三、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．已知数列中，，．
①写出数列的前5项；
②猜想数列的通项公式．
18已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
19．已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求．
20．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．
21．三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，M，N分是AB，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面夹角的正弦值．
22．（12分）
已知定点，圆（N为圆心，O为坐标原点），点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记点P的轨迹为曲线C，过N的直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围．
参考答案
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．CD
10．解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件A包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件B包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件C包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，
事件AB包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，..，，，，，
∵，∴事件A、B是相互独立事件，故A正确；
事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误；
，故C正确；
ABC包包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
∴，故D错误．
故选：AC．
11．AC 12．BCD 13． 14．
15．取，，，的中点分别为Q，M，N，P，连接BD，，FQ，QM，MN，NP，PE，因为E，F分别为AD，AB的中点，所以．同理可得．因为，，所以四边形是平行四边形，可得．所以，同理可证明，，所以E，F，Q，M，N，P共面，
因为，平面EFQMNP，面EFQMNP，所以平面EFQMNP，若平面EFG，则点G在平面EFQMNP内，
又因为点G在上底面（含边界），所以点G在面EFQMNP与面的交线上，所以点G在线段MN上，即点G在中点与中点连线上，
故答案为：G在中点与中点连线上．
16．在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图
∴，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，
过球心向地面作垂线，垂足是H，
在构成的直角三角形中，，∴，
故答案为：．
17．①由，可得
，，
，．
②猜想：
18．（1）证明：直线 可变形为 ，
联立方程组，解得，，
所以直线恒过定点；
（2）解：因为直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，
直线方程为，，则，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为4，此时直线的方程为
19．（1）由题设，可知直线l的方程为．
因为l与C交于两点，所以，解得．
所以k的取值范围为．
（2）将代入方程，
整理得．
设，，所以，．
．
由题设可得，解得，
所以l的方程是，故圆心C在l上，所以．
20．解：（1）若焦点在x轴上，可设椭圆标准方程为：，
由长轴长知：，∴；由焦距知：，
∴，解得：；∴椭圆标准方程为：；
若焦点在У轴上，可设椭圆标准方程为：，
同焦点在x轴上，可得，，所以椭圆方程为；
综上，所求椭圆方程为或．．
（2）∵所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
∴可设双曲线标准方程为，
又过点，所以，解得，所以即为所求．
21．
（1）证明：连接，，
在中，M，N分别为AB和的中点，则，
因为平面，平面，故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，故，
则，
故直线和平面夹角的正弦值为．
22．
（1）由中垂线的性质得，所以，
所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，
因此，曲线C的方程为：．
（2）由题意知直线l的斜率不为0，可设
，，，则，
由题意可知，
，
联立，整理得，
由根与系数的关系得，，
所以
．
令，则．
因为在上是增函数，所以，所以面积的取值范围为．
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