河北省邢台市临城县普通高中2021-2022学年高二下学期3月开学检测数学试题（Word版含答案）

临城县普通高中2021-2022学年高二下学期3月开学检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数列1，，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“方程”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知是函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
8．已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：（，1，2，…）．若，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
11．如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点B到平面的距离为
12．已知点P在双曲线的左支上，，F是该双曲线的右焦点，当的周长取得最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．的周长为2
C．P的坐标为 D．的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已等差数列的前n项和为，且，则______
14．一个小球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的路程h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则：
（1）前内球的平均速度为______；
（2）在时球的瞬时速度为______．（木题第一空2分，第二空3分）
15．写出一个同时满足下列条件①②的圆C的标准方程：______．
①圆C与直线相切；②A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴，为圆C的直径．
16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N；该数列的前N项和大于46，那么该款软件的激活码是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆，直线．
（1）证明：直线l与圆C恒有两个交点．
（2）若直线l与圆C的两个交点为A，B，且，求m的值．
18．（12分）
已知函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最小值．
19．（12分）
已知正项数列的首项为4，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为菱形，．
（1）证明：．
（2）已知，平面与平面的夹角为45°，求四棱锥的体积．
21．（12分）
已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且．
（1）证明：．
（2）求的通项公式．
（3）设数列的前n项和为，若对任意，恒成立，求m的取值范围．
22．（12分）
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程．
（2）已知O为坐标原点，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，D为直线l上一点，且，证明：存在定点Q，使得为定值．
临城县普通高中2021-2022学年高二下学期3月开学检测
数学参考答案
1．A A，B，C，D选项中的直线斜率分别为，，，，故A选项所对应的直线与直线l垂直．
2．C 将数列1，，，，，…变为，，，，，…，从而可知分母的规律为，分子的规律为，再结合正负的调节，可知其通项为．
3．C ，故．
4．D ，，
．
5．B ∵方程表示椭圆，∴ 解得且，∴“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
6．A ，则是函数的极小值点，故．
7．B ．
8．B 由题意知，即．又，且，
所以，则．
9．BD 选项A中，若，则，故A错误．
选项B中，若，则，故B正确；
选项C中，若，则，故C错误；
选项D中，若，则，故D正确．
10．BD ，因为函数单调递增，且当时，，当时，，所以数列的最大项为，数列的最小项为．
11．CD 以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，，，
，，，，．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，得，
所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误．
，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确．
又，所以点B到平面的距离为，即D正确．
12．ACD 如图1，设双曲线的左焦点为，由题知，，
的周长为，当且仅当A，P，三点共线时（如图2），等号成立，所以，为直角三角形．
，，联立，解得，，
所以P的坐标为．
．
13．35 因为，所以，则．
14．9；15 由题设知，，，即平均速度为．
由已知得，令，得．
15．（答案不唯一，形如，即可）
设圆C的标准方程为．
因为A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴，AB为圆C的直径，所以原点在圆C上，即，
又圆C与直线相切，所以，解得，，取，则，，此时圆C的标准方程为．
16．83 该数列的前项和为
，要使，当时，，则．
又，所以对应满足条件的最小整数．
17．（1）证明：圆C的标准方程为，圆心坐标为，半径长为2，……2分
由于直线，即，
令，解得，，所以l恒过点，……4分
所以，
则点在圆内，所以直线l与圆C恒有两个交点．……6分
（2）解：圆心C到直线l的距离，……8分
又，所以．……10分
18．解：（1）由已知可得．……2分
又，……3分
所以．……5分
（2）由（1）可知，，……6分
令，解得或，……8分
所以在和上单调递增，在上单调递减．……10分
又，，……11分
所以函数在上的最小值为．……12分
19．解：（1）因为，所以数列是公差为2的等差数列，……2分
则，……4分
即．……5分
（2），……6分
所以，①
，②……8分
得……10分
，
即．……12分
20．（1）证明：取的中点E，连接，，．
因为，所以，……1分
又因为四边形为菱形，且，
所以，所以，又，……3分
所以平面，又平面，……4分
所以．……5分
（2）解：由（1）知，且平面平面，
所以平面，又，
所以，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则．……7分
易知平面的一个法向量为，……8分
所以，解得……10分
故四棱锥的体积为．……12分
21．（1）证明：当时，，则．……1分
当时，因为，所以，两式相减得，……3分
又满足，所以，．……4分
（2）解：由（1）可知，，
所以，即，……5分
所以是首项为1，公比为2的等比数列，即，……7分
（3）解：，……8分
则
，……10分
所以，即m的取值范围为．……12分
22．（1）解：由题意，知抛物线C的焦点为，准线方程为，……1分
则该抛物线焦点F到准线的距离为，……3分
所以该抛物线的方程为．……4分
（2）证明：由题可知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，，
由得，，
所以，．……6分
因为，所以，……7分
又因为，，所以，解得，……8分
所以，得，……9分
所以直线l的方程为，所以直线l过定点．……10分
又，则D在以为直径的圆上，的中点即圆心Q，
故存在，使得．……12分