2021-2022学年青岛版八年级数学下册6.4三角形的中位线同步测试题（Word版含答案）

2021-2022学年青岛版八年级数学下册《6-4三角形的中位线》同步测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
4．如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
5．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　）
A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF
7．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　 　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 　．
10．顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是 　 　．
11．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　 　．
12．如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝60°，∠B＝75°，则∠ANM＝　 　．
13．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　 　．
14．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4cm，则BC＝　 　cm．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若DE＝3，则AB＝　 　．
16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
20．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由．
21．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝　 　cm；若BC＝9cm，则DE＝　 　cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．
22．已知，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
2．解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
3．解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，故选：A．
4．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA）
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，
∵AN＝NE，AM＝MD，
∴MN＝DE＝2，
故选：B．
5．解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
6．解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EG＝BC，GF＝AD，
在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，
∴AD+BC＞2EF，
当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，
∴AD+BC＝2EF，
所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．
故选：B．
7．解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
8．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF＝BC，EG＝AC，FG＝AB，
∴EF+FG+EG＝（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半．
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′周长为×64＝16．
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n﹣1＝27﹣n
故答案是：27﹣n．
10．解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，
∵△DEF∽△ABC，
∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是．
故答案为：．
11．解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，故答案为：1．
12．解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C＝45°，
故答案为：45°．
13．解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，BD＝AD＝7，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴DF＝BD＝7，
∴DE＝DF+EF＝11，
∴BC＝2DE＝22，
故答案为：22．
14．解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝4cm，
∴BC＝2DE＝8（cm）．
故答案为：8．
15．解：延长AC交BD的延长线于点F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD＝DF，AB＝AF，
∵DE∥AC，BD＝DF，
∴AF＝2DE＝2×3＝6，
∴AB＝6，
故答案为：6．
16．解：∵AD⊥BC，∠B＝45°，BD＝，
∴AD＝BD＝，
在Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AC，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝（AC）2+（）2，
解得：AC＝2，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF＝AC＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．证明：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵F是BC的中点，
∴EF是△CDB的中位线，
∴BD＝2EF．
18．解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
19．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
20．解：DF∥AB．理由如下：
如图，延长CF交AB于点G，
∵AE是角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴GF＝CF，
即点F是GC的中点，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF∥AB．
21．解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又EF＝5cm，
∴AB＝10cm．
同理，DE＝BC＝4.5cm；
故答案是：10、4.5
（2）互相平分，
理由：如图，连接DF，
∵AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与DE的关系是互相平分．
22．解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．