2021-2022学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级上学期期末数学试卷（五四学制）(word解析版)

2021-2022学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
已知中，，，，则
A. B. C. D.
如图，已知是的直径，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，是的直径，为弦，于点，则下列结论中不成立是
A. 弧弧
B. 弧弧
C.
D.
如图，，，，，相互外离，它们的半径都是，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形阴影部分的面积之和是
A. B. C. D.
把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是
A. B.
C. D.
已知二次函数图象上的三点，，，则、、的大小关系为
A. B. C. D.
对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A. 图象与轴交点的坐标是
B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为
D. 当时，随的增大而增大
如图，是的直径，若的半径为，，则的值是
A.
B.
C.
D.
如图，小明利用一个锐角是的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是
A. B. C. D.
二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：；；；；其中结论正确的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
计算： ______ ．
抛物线与直线的交点坐标是______．
已知抛物线开口向上，且，则______．
抛物线与轴交于点，，利用两点式抛物线解析式可设为：______．
如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是____．
如图，在的内接四边形中，，则的度数是______ 度．
如图，在中，，，点是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是______．
在中，已知，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到则图中阴影部分的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过、、三点．
求该抛物线的表达式；
若该抛物线的顶点为，求直线的解析式；
点在轴上，点在抛物线上，要使、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．
四、解答题（本大题共8小题，共58.0分）
计算：
求不等式的解集．
已知抛物线的图象经过，．
求抛物线解析式；
求该二次函数的顶点坐标．
如图，的弦、的延长线相交于点，且，求证：．
如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 处沿南偏西方向前进实施拦截．红方行驶米到达处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西方向前进了相同的距离，刚好在处成功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远结果不取近似值．
某商品交易会上，某商人将每件进价为元的纪念品，按每件元出售，每天可售出件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价元，每天的销售量会减少件．
直接写出每天所销售量件与售价元之间的函数关系式．不要求写出自变量取值范围．
每件售价定为多少元，才能使一天的所得的利润元最大？最大利润是多少元？
已知抛物线
求证：不论取何值，抛物线与轴总有两个交点．
当时，求抛物线与轴的两个交点间的距离．
直接写出______时，抛物线与轴的两个交点间的距离最小．
如图，是的直径，与交于点，的平分线交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：中，，，，，
是直角三角形，．
．
故选：．
先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，由勾股定理得到直角三角形是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到答案．
此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3.【答案】
【解析】解：是的直径，为弦，于点，
，，，但不一定等于，
故选项A、、D正确，选项C不正确，
故选：．
根据垂径定理即可得到结论．
本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由图可得，个扇形的圆心角之和为：，
则五个阴影部分的面积之和．
故选：．
圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
5.【答案】
【解析】
【分析】
易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
【解答】
解：函数的顶点为，
向上平移个单位，再向右平移个单位的顶点为，
将函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线的解析式为，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向下，且对称轴为直线，
，
，
故选：．
由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点值越大，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值．
7.【答案】
【解析】解：二次函数的顶点式为，
将代入中得，
图象与轴得交点为，
故A项不符合题意；
对称轴为，顶点坐标为，
故B，两项不符合题意；
，图象开口向下，
当时，随的增大而增大，
故D项符合题意．
故选：．
根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
本题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键在于熟练掌握二次函数顶点式的特点．
8.【答案】
【解析】解：连接，
是的直径，
，
的半径为，，
，
，
，
．
故选：．
首先连接，由是的直径，可得，又由的半径为，，即可求得的值，又由，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，四边形是矩形，，，
，，
在中，，，
，
．
故选：．
先根据题意得出的长，在中利用锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论．
本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，含的直角三角形等，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线图象得：开口向下，即；
抛物线与轴交于负半轴，则；
对称轴是直线，即，
，故选项正确；
抛物线图象与轴有两个交点，
，故选项正确；
当时，，故选项错误；
，
，故选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：联立，
，
解得或，
交点坐标为或．
联立，即可求交点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
，
，
故答案为．
利用二次函数的性质得到，然后根据，即可求得．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
14.【答案】
【解析】解：抛物线与轴交于点，，
设抛物线的解析式为，
故答案为：．
由抛物线与轴的交点设二次函数的交点式即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是利用交点坐标写出两点式抛物线解析式．
15.【答案】
【解析】解：设扇形半径为，
解得．
故答案为：．
利用圆锥底面周长扇形展开图的弧长可得结果．
本题主要考查圆锥的问题，解答本题的关键是确定“圆锥底面周长扇形展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16.【答案】
【解析】解：四边形内接于
．
由圆内接四边形的对角互补，可求出的度数；再由圆周角定理，即可求出的度数．
本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，，，
，
．
最小值为．
故答案为：．
首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：，，，
，，
图中阴影部分面积，
故答案为：；
解直角三角形得到，，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
19.【答案】解：由题意，知：抛物线与轴的交点为、，
可设其解析式为：，代入点的坐标，得：
，
解得：
故抛物线的解析式：．
由知，抛物线的解析式：；
；
设直线的解析式为：，代入、，得：
，解得
故直线的解析式：．
设点的坐标为，分两种情况讨论：
线段为平行四边形的边，则轴，且，有：
、将点向左平移个单位，则，代入抛物线的解析式，得：
，
即：；
、将点向右平移个单位，则，代入抛物线的解析式，得：
，
即：；
线段为平行四边形的对角线，则、关于的中点对称，即，代入抛物线的解析式，得：
，
即：；
综上，满足条件的点的坐标为、、．
【解析】已知抛物线图象上不同的三点坐标，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
将的抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点的坐标，点的坐标已知，利用待定系数法即可求出直线的解析式．
题目给出的四边形四顶点排序没有明确，因此要分两种情况讨论：
线段为平行四边形的边；那么点向左或向右平移长个单位就能得到点的坐标，点的横坐标是确定的，那么点的坐标就能确定出来，而点恰好在抛物线的图象上，代入抛物线的解析式即可求出点的坐标；
线段为对角线；那么点、关于的中点对称平行四边形是中心对称图形，思路同，首先确定点的横坐标，再代入抛物线的解析式中确定其具体的坐标值．
前两个小题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式的解题方法，这是函数题目中最基础的题目，需要熟练掌握．最后一个小题比较容易漏解，这就要求同学能够将满足条件的平行四边形的几种情况都考虑到或在图上画出来，此类题型都需要进行分类讨论，也是函数综合题和压轴题中的常考题目．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
21.【答案】解：对于二次函数，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
抛物线开口向下，
当时，，
即不等式的解集为．
【解析】把解一元二次不等式的问题转化为抛物线与轴的交点问题，对于二次函数，通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标为，，然后利用二次函数的图象与性质写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
22.【答案】解：抛物线的图象经过，．
，解得，
二次函数解析式为；
，
该二次函数的顶点坐标为．
【解析】根据待定系数法即可求得；
把中的解析式化成顶点式即可求得．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，如图，
，
．
．
即．
．
．
．
即：．
【解析】连接，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出；利用等腰三角形的判定定理得到，利用等式的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定，等式的性质，连接，利用等弧所对的圆周角相等得出是解题的关键．
24.【答案】解：过作的垂线，过作的平行线，两线交于点；过作的垂线，过作的平行线，两线交于点，则，红蓝双方相距．
在中，
米，，
米．
在中，
，米，，
米，
米．
答：红蓝双方最初相距米．
【解析】过作的垂线，过作的平行线，两线交于点；过作的垂线，过作的平行线，两线交于点，则，红蓝双方相距在中，根据锐角三角函数的定义求出的长，同理，求出的长，进而可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：由题意．
由题意，
即；
，
当时，元，
答：售价为元时，利润最大，最大利润是元．
【解析】根据每件提价元，每天的销售量会减少件，可得，化简即可；
根据利润售价进价售出件数，列出函数关系式，利用二次函数的性质的可得最大值．
本题考查的是二次函数的应用，熟知利润售价进价售出件数是解答此题的关键．
26.【答案】
【解析】解：证明：，
不论取何值，抛物线与轴总有两个交点；
当时，求抛物线为，
设抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
，
抛物线与轴的两个交点间的距离为；
，，
，
抛物线与轴的两个交点间的距离最小，
故答案是．
求抛物线解析式的判别式，利用配方法判断即可；
设抛物线与轴两交点横坐标为，，利用两根关系求的值；
利用两根关系求的表达式，利用非负数的性质求最小值．
本题考查了抛物线与轴的交点求法，根的判别式的运用，两点间的距离的求解．关键是熟悉抛物线与轴的交点个数的判断方法，利用两根关系求两交点间的距离．
27.【答案】解：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
经过半径的端点，且，
是的切线．
如图，连接、，
，，
，
是的直径，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
，，
，
，
解得，
，
的半径为．
【解析】连接，证明，则，根据切线的判定定理可证明是的切线；
连接、，证明∽，∽，根据相似三角形的对应边成比例和勾股定理可求出的长，进而求出的半径长．
此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
第2页，共2页
第1页，共1页