2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级上学期期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是环，方差分别是克，，，，你认为派谁去参赛更合适
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若
千米，则，两点的距离为千米．
A.
B.
C.
D.
如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么等于
A.
B.
C.
D.
一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，设这个小组有人，则
A. B. C. D.
已知，是方程的两个实数根，则的值是
A. B. C. D.
对于反比例函数，下列说法不正确的是
A. 图象分布在二、四象限内
B. 图象经过点
C. 当时，随的增大而增大
D. 若点，都在函数的图象上，且时，则
在中，若锐角、满足，则对的形状描述最确切的是
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标
A. B. C. D.
如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比，坝高，则坡面的长度是______
如图，，，利用此图求______．
如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为，则______．
已知，是一元二次方程的两根，则______．
已知，与相交于点，若，，则的长为______．
如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端点与点，在同一直线上，已知楼房米，米，则荷塘的宽为______米．
已知∽，它们的周长比为：，则它们的面积比是______．
如图，在反比例函数图象上，轴于，则的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
如图，与相交于点，已知：，，，．
求证：；
当与垂直时，求和的长．结果保留根号
计算：．
科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，求，两地的距离．
选择适当方法解下列方程：
；
．
某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为元时，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫定价应多少元？
某同学想了解本校初一学生对哪门课程的课后服务感兴趣，随机抽取了部分初一学生进行调查每名学生必选且只能选择一门课程将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中一共抽取了______名学生，的值是______．
请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是______度；
若该校初一年级共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校初一年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，且一次函数图象与轴交于点．
求反比例函数与一次函数表达式；
求的面积．
如图，在与中，已知，，，，，连接，．
求证：∽；
若，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为方差越小成绩越稳定，
故选甲．
故选：．
根据方差越小，成绩越稳定即可判断．
本题考查方差，解题的关键是理解方差越小成绩越稳定．
2.【答案】
【解析】解：连接，
由勾股定理可得，
，，，
，
，，
是直角三角形，
，
．
故选：．
首先根据勾股定理求出三边长，可得是等腰直角三角形，可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，，
，
，
，
在中，千米，
千米，
在中，，
千米．
故选：．
证明，在中，求出千米，在中，解直角三角形可求出的长，则可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
故选：．
根据等腰三角形的判定定理得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：若这个小组有人，则每人需送出张，
依题意得：，
故选：．
若这个小组有人，则每人需送出张，根据全组共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
根据题意可知，，所求式子化为即可求解．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、时，，点在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
C、，当时，随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
D、，在每一个象限内，随的增大而增大，
当，则，故本选项错误，符合题意，
故选：．
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
8.【答案】
【解析】解：，
又，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形．
故选：．
利用非负数的性质求解即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，非负数的性质，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握非负数的性质，记住特殊角的三角函数值．
9.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，位似比为，
而 ，
点的对应点的坐标为．
故选：．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把点的横纵坐标都乘以即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
10.【答案】
【解析】解：连接
：：，
设，，
则，
是平行四边形，
，，
∽，
，
：：，
：：，
：：，
设，则，
，，
，
的面积与四边形的面积之比为：：：，
故选：．
由：：，可得：：，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得：：，：：，进而可求的面积与四边形的面积的比值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．
11.【答案】
【解析】解：在中，，：；
，
．
故答案为：．
在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，．
，
，．
设，
，
，
，
：
．
由推出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角和知，设，表示出、、，进一步表示根据：求解．
此题综合考查了解直角三角形的知识，要求学生有较强逻辑推理能力和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：因为的面积是，
所以．
又因为图象在二，四象限，，
所以．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
所以
．
故答案为．
先利用根与系数的关系得到，，再利用通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若：，是一元二次方程的两根时，，．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
由得出，，得出∽，进而得出，再根据，，即可得出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，，，米，
，
米，
米，
米．
答：荷塘的宽为米，
故答案为：．
根据已知条件转化为直角三角形中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出，根据可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形中的有关元素．
17.【答案】：
【解析】解：∽，它们的周长之比为：，
三角形的相似比是：，
它们的面积之比是：，
故答案为：：．
根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：在反比例函数图象上，
，
轴于，
，，
，
故答案为：．
利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比邻边，求出即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19.【答案】证明：，，，，
，，
，，
，
，
∽，
，
；
解：，
，
在中，，
在中，，
答：的长为，的长为．
【解析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明∽即可解答；
根据已知可得，然后在和中利用勾股定理即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
21.【答案】解：过作于点．
在中，千米，
中，，
是等腰直角三角形，
千米，
千米．
答：，两地的距离是千米．
【解析】此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
过作于点，在直角中利用锐角三角函数求得的长，然后在直角中利用锐角三角函数求得的长．
22.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，．
【解析】将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
整理后，将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
23.【答案】解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的定价为元，每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
又尽快减少库存，
，
．
答：每件衬衫定价应为元．
【解析】设每件衬衫降价元，则每件衬衫的定价为元，每件盈利元，每天可售出件，根据平均每天的利润每件的利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：在这次调查中一共抽取了名学生，
，
故答案为：，；
对数学感兴趣的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
名，
答：该校初一年级学生中有名学生对数学感兴趣．
根据统计图中爱好化学的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生人数，然后即可计算出的值；
根据统计图中的信息，可以计算出爱好数学的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数；
根据统计图中的数据，可以计算出该校初一年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：把点代入得，，
，
反比例函数的表达式为；
把点，代入得，
解得：，
一次函数的表达式为；
直线与轴交于点，
，
，
，
的面积为．
【解析】根据待定系数法求解即可；
求出点的坐标，再根据三角形的面积公式求出三角形和三角形的面积，相加即可得出答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积以及观察函数图象的能力．
26.【答案】证明：，
，
，
又，
∽；
解：过作于，
由知，，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
【解析】由题意可知，又，从而证明结论；
过作于，则是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
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